留数定理||数理方法
//由于电脑崩了一次，AdobeIllustrator打不开，然后在家连不了校园网，软件没有装回来，这次示意图就比较随意
//感觉光抄书也没意思，这次整个活
//开始
1. 留数定理
考虑一个仅包围一个孤立奇点的回路
，我们已经知道复变函数
可以在奇点附近展开为洛朗级数：
并且在第三章我们提到过该级数可以沿逐项积分，即
前面已经证明，
所以有
因此洛朗级数的系数有特殊地位，称为函数
在
的留数(或残数)。通常记作：
而如果积分回路包含数个孤立奇点，则可以构造复连通区域如图，
再根据复连通区域的柯西公式，可知
也就是说，要求回路积分值，只需求回路包含的所有奇点的留数之和。
如果要推广到无限远点：
设在无限远点的邻域解析，展开成洛朗级数：
(事实上只需换元即可知无限远点的洛朗级数和
点的洛朗级数是一样的)
取足够大的回路使回路外函数不存在有限远奇点。级数沿该回路逐项积分得
注意这里的积分仍取第二章定义的正方向，这里函数在回路外部解析，积分沿顺时针。
2. 留数的求法
除了通过洛朗级数的定义求留数，还可以利用以下方法：
设有函数的阶极点
，则极点附近有洛朗级数
即
令
则上式右边是的泰勒级数，显然有
所以，如果可以找到使
，则可以确定
是
阶极点，并可以根据上式求得留数。特别地，对于单极点，
3. 留数的应用：定积分
3.1 三角函数有理式：
换元，则积分变为
然后只需对单位圆内奇点的留数求和即可。
3.2
其中在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外解析，当
在上半平面及实轴趋于
时，
一致趋于0。
首先声明被称为该积分的主值。
(积分主值存在时积分值不一定存在，例如)
构造一个半圆形回路，再令半径趋于无穷，
则因为半圆弧部分
根据预设条件右边趋于0，所以有
即只需对上半平面所有有限远奇点的留数求和。
3.3
其中，是偶函数，
是奇函数，二者在上半平面除有限个奇点外解析，当
时，
一致趋于0。则变形得到
可以证明，
3.4 实轴上有单极点的情形
如果实轴上有一个单极点，则构造如图的回路，充分小。
在单极点附近，
时
，故可以证明
简单来说，实轴上的奇点算一半。
注意这里实轴上只能是单极点，否则积分并不存在。
3.5 一些结论
根据前面的讨论，可以证明
对于上半平面处处解析的函数，有希尔伯特变换(色散关系):
4. 整活
在这些时候，我可以附和着笑，教授是决不责备的。而且教授见了孔乙己，也每每这样问他，引人发笑。孔乙己自己知道不能和他们研究，便只好向大一新生说话。有一回对我说道，“你学过数理方法么？”我略略点一点头。他说，“学过，……我便考你一考。，怎样积的？”我想，挂科一样的人，也配考我么？便回过脸去，不再理会。孔乙己等了许久，很恳切的说道，“不能积罢？……我教给你，记着！这些积分式应该记着。将来做教授的时候，计算要用。”我暗想我和教授的等级还很远呢，而且我们教授也从不手算积分；又好笑，又不耐烦，懒懒的答他道，“谁要你教，不是得
么？”孔乙己显出极高兴的样子，将两个指头的长指甲敲着黑板，点头说，“对呀对呀！……这个积分有四样积法，你知道么？”我愈不耐烦了，努着嘴走远。孔乙己刚用指甲蘸了粉笔灰，想在黑板上写字，见我毫不热心，便又叹一口气，显出极惋惜的样子。
有几回，高中物竞生听得笑声，也赶热闹，围住了孔乙己。他便给他们做微分方程题，一人一道。物竞生解完微分方程，仍然不散，眼睛都望着《数学物理方法》。孔乙己着了慌，伸开五指将书罩住，弯腰下去说道，“不多了，我已经不多了。”直起身又看一看书，自己摇头说，“不多不多！多乎哉？不多也。”于是这一群物竞生都在笑声里走散了。
这里积分的四种积法指的是：
① 公式法
② 换元积分法
令，则
③ “大人，时代变了”
④ 留数定理
有单极点
，上半平面：
所以有
参考文献
[1] 梁昆淼. 数学物理方法（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.8，51~68.
