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控制变量法的简介和应用

2022-07-03 19:30 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

在解决数学问题时，我们会遇到一类存在多个变量的问题，解决这种问题的方法之一则是控制变量法。下面的举例将按难度和门槛由低到高循序渐进。

(1)

如图，B在以点A为圆心，1为半径的圆上运动，点C在水平直线l上运动，圆心A到直线l的距离为2，求BC最小值？

此题有两个动点，也就意味着有2个变量，当2个变量同时在变化(BC都在运动)时，未免显得困难，不妨先控制变量固定一个点。

比如固定点B，此时就只有C这一动点（变量）了，那么BC的最小值就是B到直线l的距离

那么当B点处于上图中的位置时，BC的最小值就是上图中的这段垂线长

现将B移动至另一位置

此时最小值又是多少呢？答案还是：B到直线l的距离

那么对于每一个特定的B点，对应的BC的最小值都是这一个B点到直线l的距离，那么在这些对应的最小值找出最小那个就是此题的最小值

下面分享一番个人的奇妙的比喻，纯属举例子无贬义[doge]。就好比让你在整个年级中找出最矮的人，可以先在每一个班里找出最矮的人，再在这批矮人中找出最矮的人即可。找最高的人也是如此，先找出每个班最高的人，再在这些高人中找出最高的人即可。

ps:当然了，如果真要究些不同点，那就是例子中的班级和人是“离散型变量”，因为可以一个一个数出来；而此题中控制的B点是“连续型变量”，因为一个圆上可有无数个B点。姑且看成是“无数的班级”里分别有“无数个学生”吧（每一个B点对应一个班级，每个班级里的C点对应一个学生）。

回到此题，每个B点对应的垂线段就是“每个班级里最矮的学生”，那么垂线段的最小值就是“这批矮人中最矮的”。由于直线水平，那么当B位于圆的最低点时，垂线段取得最小值：d-r=2-1=1

另外，如果控制C不变，那么BC的最小值为AC-r(此时每个特定的C就是“班级”，控制这个特定的C情况下每个A点就是该班级的“学生”)

也即每个特定的C对应的BC的最小值都是AC-r，r=1恒定，只需求AC的最小值，那么当AC垂直于直线l(即垂线段)时取得最小值2，原式最小值为2-1=1

再来实践一道题

如图，C,D分别是圆A，圆B上的动点，圆A半径为2，圆B半径为3，两圆心距离AB为6(即两圆相离)，求CD的最大值和最小值

1、控制D不变，则CD最小值为 $AD-r_A%3DAD-2$

每一个特定的D对应的最小值都是AD-2，则只需求AD的最小值

AD的最小值为 $AB-r_B%3D6-3%3D3$ ，则 $AD-2%3D3-2%3D1$

最小值为1

(ps:图整得不太标准，距离没弄好，明白如何做即可)

奇妙比喻：控制D不变，每一个特定的D就是一个班级，特定的D下每一个C就对应一个学生。先找每个班里最矮的，再在这群矮人里找出最矮的即为所求

2、控制D不变，则CD最大值为 $AD%2Br_A%3DAD%2B2$

每一个特定的D对应的最大值都是AD+2，则只需求AD的最大值

AD的最大值为 $AB%2Br_B%3D6%2B3%3D9$ ，则 $AD%2B2%3D11$

最大值为11

奇妙比喻：控制D不变，每一个特定的D就是一个班级，特定的D下每一个C就对应一个学生。先找每个班里最高的，再在这群高人里找出最高的即为所求

利用控制变量法，我们还可用于研究“将军饮马”模型的一些变式

将军饮马的模型如下：

E为直线上的一个动点，A，B为两定点，A和B在直线的同侧，求(EA+EB)的最小值

此时需要作A关于直线的对称点A'，此时AE转化为AE'，这时再根据两点间线段最短即可求得二者的最小值。

现将该模型变式，化为如下题目：

如图，过定点O作定射线m,n.A,B分别是m,n上的动点，P为一定点，求△ABP周长的最小值

先固定B，则PB固定，需求(PA+AB)的最小值

A在一直线上运动，P,B固定，满足上述的将军饮马模型

由于P,B在直线同侧，故需将P或B关于m作对称

由于B是暂时固定的，而P是已知的定点，所以作P的对称点方便后续的研究

$PA%2BAB%3DP_1A%2BAB%5Cge%20P_1B$ (当且仅当 $P_1%2CA%2CB$ 三点共线时取等)

也即对于每一个特定的B，将A移至 $P_1B$ 上时取得最小值

加上固定的PB，此时周长最小值为 $P_1B%2BPB$

因此对于每一特定的点B，最小值都为 $P_1B%2BPB$ (当且仅当 $P_1%2CA%2CB$ 三点共线时取等)

求出 $P_1B%2BPB$ 的最小值即可

B在一直线上运动， $P%EF%BC%8CP_1$ 固定，满足上述的将军饮马模型

由于 $P%EF%BC%8CP_1$ 在直线同侧，故需将 $P%EF%BC%8CP_1$ 关于n作对称

将P关于n作对称得：

$P_1B%2BPB%3DP_1B%2BP_2B%5Cge%20P_1P_2$ (当且仅当 $P_1%2CB%2CP_2$ 三点共线时取等)

奇妙的比喻：先控制B不变，则一个特定的B对应一个班级，此班级下每一个点A则对应该班级的每一个学生。先求得特定的B点情况下的最小值(即找出每个班中的最矮个子的人)，再在这些特定的最小值中找出最小的即为所求（在这些找出的矮人中找出最矮的即为所求）

于是得到此模型的作图思路：将点P分别关于两射线作对称点，将 $AP$ 转化为 $AP_1$ ，将 $BP$ 转化为 $BP_2$ ，当且仅当 $P_1%2CA%2CB%2CP_2$ 四点共线时，△ABP周长取得最小值 $P_1P_2$

下面是变式2，换成了求四边形周长

P,Q为定点，即求PC+CD+QD的最小值，读者们感兴趣可按照上述控制变量的思路推一遍

控制变量法在研究多变量问题中发挥着举足轻重的作用，上述为该法在含一些含几何背景的题中的应用，后续会补充在代数背景下(主要是以多元函数为主)控制变量法的应用

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