微积分（八十六）——复积分

与实变函数不同，对于解析函数的研究首先开始于积分而非微分。前节我只是简单地定义了微分，而真正要对微分进行讨论，还需要先研究复积分。我们已经熟知实函数的Riemann积分，复积分与之定义类似。R积分是定义在实轴上，不过复积分并不是定义在区域上，而是定义在复平面的曲线上。

（定义）   称逐段光滑的简单闭曲线为周线。

根据前节，周线是可以确定其方向的。而对于一个未闭合的简单曲线，我们也可以通过指定其起点和终点来明确其方向。

逐段光滑曲线还有一个重要的性质，那就是它是可求长的。

（定义）   设为连续曲线，。任取实数列：

曲线上有对应的点列：

记

如果对于所有的实数列取法，有上界，则称该曲线可求长，称上确界为其长度。

在这一定义下，逐段光滑曲线是可求长的。它的证明过难且不是我们讨论的重点，读者了解即可。下面附上证明的链接：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/353217388

没有作说明的情况下，今后我们讨论的曲线都是光滑或逐段光滑的。

（定义）   设有向曲线，其起、终点分别为，复函数沿曲线有定义。顺该曲线的方向在曲线上取分点：，它们将曲线分为段，每一段上任意取一点，作和式：

若无论如何取分点及，只要该曲线被分成的所有弧段的长度的最大值趋于零时，都存在极限且极限唯一，则称函数沿曲线从其起点到其终点可积，积分值即为的极限值，记为

其中曲线称为积分路径。我们以后把沿正方向的积分记为

而沿负方向的记为

类似于数学分析中连续函数可积的定理，我们有连续复函数可积的定理。

（定理）   若沿曲线连续，则其沿可积。

证明   我们把函数写成两实变函数的形式：

根据定义中的做法，设

于是

事实上，虚数单位此处可以当作常数处理。而上式实际上可以拆成四个求和运算结果的加减。我们任取其一进行分析：

现在设曲线的参数方程为，则

而由参数方程中两实函数均可导且导函数均连续，故可以用拉格朗日中值定理：

故原式

上式第一个加数显然符合定积分的格式，由于

是连续的，因此它可积。（事实上，连续是由于连续，请读者自证）显然当曲线上最长弧段的长度趋于零时，也有最大的趋于零（为什么？），因此取极限时第一个加数的极限存在。而至于第二个加数，由于导函数在闭区间上连续，因此它一致连续。由此只要当分割足够细，就能使所有

又由于在闭区间连续，故其有界。由此第二个加数

综合上述，我们知道

的极限存在。事实上，它在数学分析中有自己的名字：第二类曲线积分，属于我们没有讲到的内容。类似地，其他三个和式均可被证明存在极限。所以函数可积。

复积分具有一些基本的性质。例如，设均沿连续，则：

（复积分的性质）   设均沿连续，则：

这些性质都很好证明。要证明第二点可以按照前面的证明一样把复积分拆分为和式处理，要证明第五点只需对不等式

取极限即可。由此我们还能得到：若函数存在上界，曲线长为，则由于

取极限可得：

（积分估值公式）   沿曲线有连续函数，且在其上成立，曲线长为，则