就 一网友 所提命题 之证明
设
一或三象限切点与原点连线斜率k1
二或四象限切点与原点连线斜率k2
有
k1＞0
k2=-b^4/(a^4k1)
即
S△AOB
=
b^4+a^4k1²
/
2√((b^4+a^4k1²)²/a²b²+(b²-a²）²k1²)
=
1
/
2√(1/a²b²+(b²-a²）²k1²/(b^4+a^4k1²)²)
=
1
/
2√(1/a²b²+(b²-a²）²/(b^4/k1+a^4k1)²)
即
S△AOB
≥
1
/
2√(1/a²b²+(b²-a²）²/(4a^4b^4))
=
1
/
2√((b²+a²）²/(4a^4b^4))
=
1
/
2(b²+a²）/(2a²b²)
=
a²b²/(a²+b²)
且
S△AOB
≤
1
/
2√(1/a²b²)
=
ab/2
即
a²b²/(a²+b²)≤S△AOB≤ab/2
得证
设
x²/((a²+b²)/a²)+y²/((a²+b²)/b²)=1
上点与原点连线长度d
有
S△APB
=
1/2·(d²-1)·2√(d²-1)/d²·ab
=
(d²-1)^(3/2)/d²·ab
设
t=d²-1
有
S△APB=ab·t^(3/2)/(t+1)，b²/a²≤t≤a²/b²
即
S△APB
≥
ab
b³/a³
/
(a²+b²)/a²
=
b^4/(a²+b²)
且
S△APB
≤
ab
a³/b³
/
(a²+b²)/b²
=
a^4/(a²+b²)
即
b^4/(a²+b²)≤S△APB≤a^4/(a²+b²)
得证
