复旦大学谢启鸿老师高等代数在线习题课 思考题题分析与解 ep.16

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在本站高等代数习题课的课后思考题，本文仅供学习交流  

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本人解题水平有限，可能会有错误，恳请斧正！

Remark:

练习题1  简单地求迹并利用迹的正定性即得

练习题2  这个题是在之前的一个命题基础上得到的（一个方阵能表示成同阶的对称阵与反对称阵之和），然后将对称阵拆分即可满足要求，之后取迹计算不难

练习题3  主要利用反证法，很容易找出关于单位阵的迹的矛盾之处

练习题4  仍然采用反证法，求迹后利用迹的性质很容易得出矛盾

练习题5  本题较难，首先可以注意到,根据任意性，我们可以选择不同的矩阵，也可以得到不同的结论，比如基础矩阵可以得到对角元素相同，只有一列全为1的方阵可以得到除了对角线外所有元素的和为0等等，主要看如何寻找矩阵来帮助我们计算

练习题6  本题还有利用元素平方和非负的做法，可以不用到迹

练习题7&练习题8  这两题就是白皮书例2.45结论的应用，很快可以解决