微分几何笔记|2正则曲面

学习了参数曲线的定义，然后我们就开始学习曲面的定义，二者都有相似之处。

1.正则曲面

     思路：参数曲线的定义是将一维映射到三维，那么曲面就是将二维平面映射到三维，标准定义如下：

这个映射要满足相应的条件，（1）映射函数r(u,v) k阶处处可微 （2）    （r_u是指r对于u的偏导，r_v 同理）这两条件表示其满足了局部的一一连续对应

那么我们用参数表示就是曲面S：r=r(u,v) ，u,v是平面的参数，那么我们固定一个参数，就可以得到曲线：r=r(u_0,v) or r=r(u,v_0)，这就构成了一个覆盖曲面的参数网，这里我们就明白为什么要求   ，因为r_u可以叫做u曲线切向量，他俩平行意味着映射不是一一对应。

2.切平面与法线

2.1 曲面上的曲线：就是用参数t规定了平面上的一条曲线然后再通过映射到三维曲面上：r=r(u,v),u=u(t),v=v(t)，见下图

2.2 切向量

由于r=r(u(t),v(t)), 那么 说明曲面上曲线的切向量是u的切向量和v的切向量的线性组合

2.3 切平面

确定切平面，称为(S在P点的切平面)，单位法向量,那么可以定义三种平面方程：

 点法式

 法线方程：

3 曲面定向

单位法向量沿着任意曲线转一周方向重合就是可定向曲面，其方向可由确定。反例：莫比乌斯环。

4 可允许的参数变换

可证 曲面的切平面在参数变换下不变