【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep134】三角余弦及双曲余弦的函数特性（下）

预备知识：

1. ch x=[e^x+e^(-x)]/2，sh x=[e^x-e^(-x)]/2；

2. （ch x）^2-(sh x)^2

   ={[e^x+e^(-x)]/2}^2-{[e^x-e^(-x)]/2}^2

   =[e^(2x)+2+e^(-2x)]/4-[e^(2x)-2+e^(-2x)]/4

   =1；

3. ch(x+y)

   =(ch x)(ch y)+(sh x)(sh y)，

   ch(x-y)

   =(ch x)(ch y)-(sh x)(sh y)；
   

4. ch 2x

   =（ch x）^2+(sh x)^2

   =2(ch x)^2-1；

5. ch(x/2)

   =[(ch x+1)/2]^(1/2).
   

今天继续看一些函数对应的函数方程。

76三角余弦及双曲余弦的函数特性

三角余弦（f（x）=cos ax）与双曲余弦（f（x)=ch ax）对应的函数方程：f（y+x）+f（y-x）=2f（x）f（y）——其中a>=0

（再看双曲余弦的情况）

b.双曲余弦（f（x）=ch ax）

1.基本特性（奇偶性）

1. 求f（0）——

1. 当x=0时，代入函数方程得到：f（y+0）+f（y-0）=2f（0）f（y），即f（0）=0或1；

2. 若f（0）=0，则函数为恒等式f（x）=0，所以，f（x）≠0，于是f（0）=1。

2. 确定f（x）的奇偶性——

1. 令y=0，则f（0+x）+f（0-x）=2f（0）f（x）=2f（x）；

2. 于是，f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数。

3. 因为f（x）=cos ax的值域为[-1,1]，f（x）=ch ax的值域为[1,+∞），所以可以分类讨论——

1. 情形一：f（x）<=1；——见Ep133

2. 情形二：f（x）>1。

2.情形二：f（x）=ch ax——其中a>0

step1：a=n，n∈N*——

令f（c）=ch θ（0<=θ<π/2）——

1. 求f（2c）：
   

1. 由函数方程：f（c+c）+f（c-c）=2f（c）f（c）；

2. f（2c）

   =f（c+c）

   =2f（c）f（c）-f（c-c）

   =2[f（c）]^2-f（0）

   =2（ch θ）^2-1

   =ch 2θ。
   

2. 求f（3c）：

1. 由函数方程：f（2c+c）+f（2c-c）=2f（2c）f（c）；

2. f（3c）

   =f（2c+c）

   =2f（2c）f（c）-f（2c-c）

   =2（ch 2θ）（ch θ）-ch θ

   =2（ch 2θ）（ch θ）-[（ch 2θ）（ch θ）-（sh 2θ）（sh θ）]

   =（ch 2θ）（ch θ）+（sh 2θ）（sh θ）

   =ch（2θ+θ）
   

   =ch 3θ。

3. 求f（4c）——

1. 由函数方程：f（3c+c）+f（3c-c）=2f（3c）f（c）；

2. f（4c）

   =f（3c+c）

   =2f（3c）f（c）-f（3c-c）

   =2（ch 3θ）（ch θ）-ch 2θ

   =2（ch 3θ）（ch θ）-[（ch 3θ）（ch θ）-（sh 3θ）（sh θ）]

   =（ch 3θ）（ch θ）+（sh 3θ）（sh θ）

   =ch （3θ+θ）

   =ch 4θ。

4. 归纳法证明：f（nc）=ch nθ——

1. 假设，f（nc）=2（ch （n-1）θ）（ch θ）-ch （n-2）θ=ch nθ；

2. 则：

   f（（n+1）c）

   =2（ch nθ）（ch θ）-ch （n-1）θ

   =2（ch nθ）（ch θ）-[（ch nθ）（ch θ）-（sh nθ）（sh θ）]

   =（ch nθ）（ch θ）+（sh nθ）（sh θ）

   =ch（（n+1）θ），证毕。

step2：a=（1/2^n），n∈N*——

1. 求f（c/2）——

1. 由函数方程：f（c/2+c/2）+f（c/2-c/2）=2[f（c/2）]^2；

2. f（c/2）

   =[（f（c）+f（0））/2]^（1/2）

   =[（ch θ+1）/2]^（1/2）

   =ch（θ/2）。

2. 归纳法证明：f（c/2^n）=ch （θ/2^n）——

1. 假设，f（c/2^n）=ch（θ/2^n）；

2. 由函数方程：

   f（c/2^（n+1）+c/2^（n+1））+f（c/2^（n+1）-c/2^（n+1）)

   =2[f（c/2^（n+1））]^2；

3. f[c/2^（n+1）]

   =[（f（c/2^n）+f（0））/2]^（1/2）

   =[（ch（θ/2^n）+1）/2]^（1/2）

   =ch（θ/2^（n+1）），证毕。

step3：a=（m/2^n），m、n∈N*——

1. 由step1、step2易得：

   f（mc）

   =ch mθ，

   f（mc/2^n）

   =ch（mθ/2^n）；

2. 对于任何m/2^n型是正数x，由f（cx）=ch θx，m/2^n的值域为R+，所有正实数，故而对一切正实数x∈R+，f（cx）=ch θx；

3. 又f（x）为偶函数，故而对x<0——

   f（cx）=f（c（-x））=ch θ（-x）=ch θx，即对一切正实数x∈R+，f（cx）=ch θx；

4. f（c*0）=1=ch 0θ；

5. 则对于一切实数x∈R，f（cx）=ch θx；

6. 于是：f（x）=f（c（x/c））=ch θ（x/c），令a=θ/c，则f（x）=ch ax；

7. 综上：双曲余弦函数（f（x）=ch ax）对应的函数方程为：f（y+x）+f（y-x）=2f（x）f（y），其中a>=0。