【种花家务·代数】1-3-10乘法公式『数理化自学丛书6677版』

2023-09-25 21:27 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章整式

§3-10乘法公式

【01】我们现在要来研究，怎样利用一些公式使某些多项式的乘法做起来比较简便。这些公式叫做乘法公式。

1、两数和与差的积

【02】先来计算下列一些乘法：

(1) (x＋y)(x－y)；(2) (m＋n)(m－n)；(3) (a＋b)(a－b)；(4) (3x＋5)(3x－5) 。

【03】这里都是二项式与二项式的乘法，直接做乘法，可以得到：

(1) (x＋y)(x－y)＝x²＋xy－xy－y²＝x²－y²；

(2) (m＋n)(m－n)＝m²＋mn－mn－n²＝m²－n²；

(3) (a＋b)(a－b)＝a²＋ab－ab－b²＝a²－b²；

(4) (3x＋5)(3x－5)＝(3x)²＋5(3x)－5(3x)－5²＝(3x)²－5²＝9x²－25 。

【04】仔细地比较下上面这四个乘法里的两个因式，可以看到它们有一个共同的特点，就是每一个题目中的第一个因式是两个代数式的和，而第二个因式恰巧就是这两个代数式的差。例如在(1)里，第一个因式是 x 与 y 的和，而第二个因式恰巧就是 x 与 y 的差；在(4)里，第一个因式是 3x 与 5 的和，而第二个因式恰巧是 3x 与 5 的差。

【05】再观察这四个乘法里计算所得的结果，可以看出它们也有共同的特点，就是所求得的积，恰巧就是因式里两个代数式的平方的差。例如，在(1)里，积 x²－y⁵ 恰巧是 x 的平方与 y 的平方的差；在(4)里，积 9x²－25 恰巧是 3x 的平方与 5 的平方的差。

【06】我们把这种特殊形式的乘法，叫做求两数的和与差的积。

【07】从上面的例子，我们可以得出下面的结论：两数的和与这两数的差的积等于这两个数的平方差。

【08】把这个结论用字母来表示，就得到下面的两数和与差的积的公式：

(a＋b)(a－b)＝a²－b² (乘法公式1) 。

【注意】这里 a 与 b 可以表示任意的代数式，但公式里所有的 a 都要表示同样的代数式，所有的 b 也都要表示另一个同样的代数式。

例1.利用乘法公式1计算：(1) (x＋a)(x－a)；(2) (2x＋3a)(2x－3a)；(3) (x²＋a²)(x²－a²)；(4) (2x³＋3a²)(2x³－3a²) 。

【解】

(1) 公式1里的 a，在这里是 x，公式1里的 b，在这里是 a，只要把公式里所有的 a 都写做 x，所有的 b 都写做 a 就可以了。∴ (x＋a)(x－a)＝x²－a² 。

(2) 公式1里的 a，在这里是 2x，公式1里的 b，在这里是 3a，公式里的 a² 写做 (2x)²，公式里的b²，写做 (3a)²，再化简，∴ (2x＋3a)(2x－3a)＝(2x)²－(3a)²＝4x²－9a² 。

(3) 公式1里的 a，在这里是，公式1里的 b，在这里是 a³，∴ (x²＋a²)(x²－a²)＝(x²)²－(a³)²＝x⁴－a⁶ 。

(4) 公式1里的 a，在这里是 2x³，公式1里的 b，在这里是 3a²，∴ (2x³＋3a²)(2x³－3a²)＝(2x³)²－(3a²)²＝4x⁶－9a⁴ 。

例2.利用乘法公式计算：(1) (2a－3b)(2a＋3b)；(2) (3ab－5x²y³)(3ab＋5x²y³) 。

【分析】这里第一个因式是两数的差，第二个因式就是同样的两个数的和。根据乘法交换律，这两个因式前后次序可以对调，因此仍旧可以应用两数和与差的积的公式。

【解】

(1) (2a－3b)(2a＋3b)＝(2a)²－(3b)²＝4a²－9b²；

(2) (3ab－5x²y³)(3ab＋5x²y³) ＝(3ab)²－(5x²y³)²＝9a²b²－25x⁴y⁶ 。

例3.利用乘法公式计算：(1) (3a＋2b)(2b－3a)；(2) (5a³x²－4by³)(4by³＋5a³x²) 。

【分析】这里 3a＋2b＝2b＋3a；4by³＋5a³x²＝5a³x²＋4by³ 。根据加法交换律交换位置之后，就和公式里两数和与差的形式一致了。

【解】

(1) (3a＋2b)(2b－3a)＝(2b＋3a)(2b－3a)＝(2b)²－(3a)²＝4b²－9a²；

(2)(5a³x²－4by³)(4by³＋5a³x²)＝(5a³x²－4by³)(5a³x²＋4by³) ＝(5a³x²)²－(4by³)²＝25a⁶x⁴－16b²y⁶ 。

【注】不要把 2b－3a 变成 3a－2b，因为 2b－3a ≠ 3a－2b 。

习题3-10(1)

应用乘法公式计算(1~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(x%2B3)(x-3).%5C%5C%0A%262%E3%80%81(a%2B6)(a-6).%5C%5C%0A%263%E3%80%81(5%2Ba)(5-a).%5C%5C%0A%264%E3%80%81(2x%2By)(2x-y).%5C%5C%0A%265%E3%80%81(a%2B2b)(a-2b).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(3a%2B5b)(3a-5b).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(12x-7y)(12x%2B7y).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(x-19y)(x%2B19y)%5C%5C%0A%269%E3%80%81(x%5E2%2Ba)(x%5E2-a).%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(a-b%5E3)(a%2Bb%5E3).%5C%5C%0A%2611%E3%80%81(a%5E2-b%5E5)(a%5E2%2Bb%5E5).%5C%5C%0A%2612%E3%80%81(x%5E%7B30%7D%2By%5E%7B20%7D)(x%5E%7B30%7D-y%5E%7B20%7D).%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(3a%5E3-2b%5E2)(3a%5E3%2B2b%5E2).%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(5a%5E5-4x%5E4)(5a%5E5%2B4x%5E4).%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(12a%5E6%2B11b%5E4)(12a%5E6-11b%5E4).%5C%5C%0A%2616%E3%80%81(9x%5E3%2B8y%5E2)(9x%5E3-8y%5E2).%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(3a%5E2b%5E3%2B5xy%5E4)(3a%5E2b%5E3-5xy%5E4).%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(2a%5E5x%5E2-3b%5E4y%5E3)(2a%5E5x%5E2%2B3b%5E4y%5E3).%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(11ax%5E7-31b%5E5y)(31b%5E5y%2B11ax%5E7).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3ab%5E2c-5)(5%2B3ab%5E2c).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法举例：(x＋3)(x－3)＝(x)²－(3)²＝x²－9]

应用乘法公式直接写出乘积，并验算(21~30)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2621%E3%80%81(m%2B3n)(m-3n).%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(3a%2B5b)(3a-5b).%5C%5C%0A%2623%E3%80%81(a%5E2%2Bb%5E2)(a%5E2-b%5E2).%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(a%5E5-x%5E3)(a%5E5%2Bx%5E3).%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(5a%5E3-2b%5E2)(5a%5E3%2B2b%5E2).%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(a%5E6-2b%5E4)(a%5E6%2B2b%5E4).%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(3a%5E2-5x%5E2y%5E3)(3a%5E2%2B5x%5E2y%5E3).%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(3a%5E2b%5E3%2B4x%5E3y%5E5)(3a%5E2b%5E3-4x%5E3y%5E5).%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(%5Cfrac13a%5E2-%5Cfrac12x%5E2)(%5Cfrac13a%5E2%2B%5Cfrac12x%5E2).%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(0.3a-b%5E4)(0.3a%2Bb%5E4).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法举例：(m＋3n)(m－3n)＝m²－9n²]

【附注】有关乘法公式的习题，可用直接乘法自己核对结果。

例4.利用乘法公式计算：(1) (－a＋b)(－a－b)；(2) (－5a³－6b²)(5a³－6b²) 。

【解】

(1)这里第一个因式－a＋b 是－a 与 b 两个数的和，第二个因式－a－b 是同样的两个数－a 与 b 的差，所以还可以应用 (a＋b)(a－b)＝a²－b² 这个公式，公式里的 a 在这里是－a，公式里的 b 在这里还是 b 。∴ (－a＋b)(－a－b)＝(－a)²－b²＝a²－b² 。

(2)这里－5a³－6b²＝－6b²－5a³，5a³－6b²＝－6b²＋5a³，把－6b² 当做公式里的 a，把 5a³ 当做公式里的 b，还是两数和与差的积。∴ (－5a³－6b²)(5a³－6b²)＝[(－6b²)－5a³][(－6b²)＋5a³]＝(－6b²)²－(5a³)²＝36b⁴－25a⁶ 。

例5.利用乘法公式计算：(1) (a＋b)(a－b)(a²＋b²)；(2) (x－3)(x＋3)(x²＋9) 。

【解】

(1) (a＋b)(a－b)(a²＋b²)＝(a²－b²)(a²＋b²)＝(a²)²－(b²)²＝a⁴－b⁴；

(2) (x－3)(x＋3)(x²＋9)＝(x²－3²)(x²＋9)＝(x²－9)(x²＋9)＝(x²)²－9²＝x⁴－81 。

例6.利用乘法公式计算：(1) 99×101；(2) 302×298 。

【解】因为 99＝100－1，101＝100＋1；302＝300＋2，298＝300－2 。所以可应用公式计算，比较方便。

(1) 99×101＝(100－1)(100＋1)＝100²－1²＝10000－1＝9999；

(2) 302×298＝(300＋2)(300－2)＝(300)²－2²＝90000－4＝89996 。

习题3-10(2)

算应用乘法公式计算(1~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(4a%5E2-b%5E3)(b%5E3%2B4a%5E2).%5C%5C%0A%262%E3%80%81(5x%5E2%2B3a%5E2b)(3a%5E2b-5x%5E2).%5C%5C%0A%263%E3%80%81(-3a%2B2b)(-3a-2b).%5C%5C%0A%264%E3%80%81(-3a-5b%5E2)(-3a%2B5b%5E2).%5C%5C%0A%265%E3%80%81(-2a%5E3%2B3b%5E2)(-2a%5E3-3b%5E2).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(-5x%5E3-6y%5E2)(-5x%5E3%2B6y%5E2).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(x%2By)(-x%2By).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(12a%2B13b)(-12a%2B13b).%5C%5C%0A%269%E3%80%81(-5x%5E2-3y%5E3)(%2B5x%5E2-3y%5E3).%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(%2B7a%5E3-3b%5E2)(-7a%5E3-3b%5E2).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

应用乘法公式计算(11~16)：

11、103×97.

12、201×199.

13、75×85.

14、34×26.

15、1005×995.

16、1.02×0.98.

用乘法公式求积(17~22)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2617%E3%80%81(x%2By)(x-y)(x%5E2%2By%5E2).%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(a%2B1)(a-1)(a%5E2%2B1).%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(a%2Bb)(a-b)(a%5E2%2Bb%5E2)(a%5E4%2Bb%5E4).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3a%2B2b)(3a-2b)(9a%5E2%2B4b%5E2).%5C%5C%0A%2621%E3%80%81(a%5E4%2Bb%5E2)(a%5E2%2Bb)(a%5E2-b).%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(x%5E8%2By%5E8)(x%5E4%2By%5E4)(x%5E2%2By%5E2)(x%2By)(x-y).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

下列乘法，如果能应用乘法公式，就用公式求积，如果不能应用公式，用多项式乘法求积(23~30)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2623%E3%80%81(a%2B2b)(a-b).%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(3a%5E%7B2%7D%2B4b)(3a%5E%7B2%7D-b).%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(2a%2B3b)(3a-2b).%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(a%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D)(a%5E%7B2%7D-2b%5E%7B2%7D).%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(a%2Bb)(a-c).%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(-3a%5E3-b%5E2)(3a%5E2-b%5E2).%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(x%2B3)(x-3)(x%5E2%2B6).%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(-a%2Bb)(-a-b)(b%5E2%2Ba%5E2).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A1.%2616a%5E4-b%5E6%3B%5C%5C2.%269a%5E4b%5E2-25a%5E4%3B%5C%5C3.%269a%5E3-4b%5E2%3B%5C%5C4.%269a%5E2-25b%5E4%3B%5C%5C5.%264a%5E6-9b%5E4%3B%5C%5C6.%2625x%5E6-36y%5E4%3B%5C%5C7.%26y%5E2-x%5E2%3B%5C%5C%0A8.%26169b%5E2-144a%5E2%3B%5C%5C9.%269y%5E6-25x%5E4%3B%5C%5C10.%269b%5E4-49a%5E6%3B%5C%5C11.%269991%3B%5C%5C%0A12.%2639999%3B%5C%5C13.%266375%3B%5C%5C14.%26884%3B%5C%5C15.%26999975%3B%5C%5C16.%260.9996%3B%5C%5C%0A17.%26x%5E4-y%5E4%3B%5C%5C18.%26a%5E4-1%3B%5C%5C19.%26a%5E8-b%5E8%3B%5C%5C20.%2681a%5E4-16b%5E4%3B%5C%5C%0A21.%26x%5E8-b%5E4%3B%5C%5C22.%26x%5E%7B16%7D-y%5E%7B16%7D%3B%5C%5C23.%26a%5E2%2Bab-2b%5E2%3B%5C%5C24.%269a%5E4%2B9a%5E2b-4b%5E2%3B%5C%5C%0A%7B25.%7D%26%7B6a%5E%7B2%7D%2B5ab-6b%5E%7B2%7D%3B%7D%5C%5C%7B26.%7D%26%7Ba%5E%7B4%7D-a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D-2b%5E%7B4%7D%3B%7D%5C%5C%7B27.%7D%26%7Ba%5E%7B2%7D%2Bab-ac-bc%3B%7D%5C%5C%0A%7B28.%7D%26%7Bb%5E%7B4%7D-9a%5E%7B4%7D%3B%7D%5C%5C%7B29.%7D%26%7Bx%5E%7B4%7D-3x%5E%7B2%7D-54%3B%7D%5C%5C%7B30.%7D%26%7Ba%5E%7B4%7D-b%5E%7B4%7D.%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

2、二项式的平方

【09】让我们计算：(1) (a＋b)²；(2) (a－b)² 。

【10】这里 a＋b 与 a－b 都是二项式。要求二项式的平方，可以根据乘法演算，得到

(a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²；

(a－b)²＝(a－b)(a－b)＝a²－ab－ab＋b²＝a²－2ab＋b² 。

【11】这里 a 和 b 都可以表示任意的数或任意的代数式。计算的结果也总与把乘积里的 a 和 b 用这些数或代数式代入后一样，所以这些结果可以作为公式来应用。这就是说：

【12】两数和的平方等于这两个数的平方的和加上这两个数的积的两倍；

【13】两数差的平方等于这两个数的平方的和减去这两个数的积的两倍。

【14】用字母来表示上面的结论，就得到下面的二项式的平方公式：

(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²（乘法公式2），

(a－b)²＝a²－2ab＋b²（乘法公式3）。

例7.计算：(1)(m＋2n)²；(2)(3m－5m)² 。

【解】

(1)是两数和，应用公式 2，以 m 代公式里的 a，以 2n 代公式里的 b，得到

(m＋2m)²＝m²＋2(m)(2n)＋(2n)².＝m²＋4mn＋4n²；

(2)是两数差，应用公式3，以 3m 代公式里的 a，以 5n 代公式里的 b，得到

(3m－5m)²＝(3m)²－2(3m)(5n)＋(5n)²＝9m²－30mn＋25n² 。

例8.计算： $%5Cscriptsize(1)%5C%3B(m%5E2%2B0.3n%5E3)%5E2%3B%5Cquad(2)%5Cleft(%5Cfrac32m%5E2-%5Cfrac23n%5E3%5Cright)%5E2.$ 。

【解】

(1)是两数和，应用公式2，以 m² 代公式里的 a，以 0.3n³ 代公式里的 b，得到

$%0A%5Cscriptsize%5Cleft(m%5E%7B2%7D%2B0.3n%5E%7B3%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%20%3D(m%5E%7B2%7D)%5E%7B2%7D%2B2%5Cleft(m%5E%7B2%7D%5Cright)%5Cleft(0.3n%5E%7B3%7D%5Cright)%2B(0.3n%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%20%0A%3Dm%5E4%2B0.6m%5E2n%5E3%2B0.09n%5E6%3B%20%0A$

(2)是两数差，应用公式3，以 3/2m² 代公式里的 a，以 2/3n² 代公式里的 b，得到

$%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac32m%5E2-%5Cfrac23n%5E3%5Cright)%5E2%20%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dm%5E%7B2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D-2%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dm%5E%7B2%7D%5Cright)%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dn%5E%7B3%7D%5Cright)%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dn%5E%7B3%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7Dm%5E%7B4%7D-2m%5E%7B2%7Dn%5E%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7Dn%5E%7B6%7D%20.$

例9.计算：(1) (－3a³＋5b²)²；(2) (－2x⁴－5y⁵)² 。

【解】

(1)可以当做两数和，应用公式2，以－3a³ 代公式2里的 a，以 5b² 代公式2里的 b，得：

(－3a³＋5b²)²＝(－3a²)²＋2(－3a³)(5b²)＋(5b²)²＝9a⁶－30a³b²＋25b⁴ 。

也可以把－3a³＋5b² 变做 5b²－3a³ 当做两数差，再利用公式3来做：

(－3a³＋5b²)²＝(5b²－3a³)²＝(5b²)²－2(5b²)(3a³)＋(3a³)²＝25b⁴－30a³b²＋9a⁶ 。

(2)可以当做－2x⁴ 与 5y⁵ 的差，应用公式3来做：

(－2x⁴－5y⁵)² ＝(－2x⁴)²－2(－2x⁴)(5y⁵)＋(5y⁵)²＝4x⁸＋20x⁴y⁵＋25y¹º 。

也可以当做－2x⁴ 与－5y⁵ 的和，应用公式2来做：

(－2x⁴－5y⁵)² ＝(－2x⁴)²＋2(－2x⁴)(－5y⁵）＋(－5y⁵)²＝4x⁸＋20x⁴y⁵＋25y¹º 。

【注】从这个例子可以看到，有时解一个问题可以应用不同的方法，但是算出来的结果应该是一样的。

习题3-10(3)

用公式计算(1~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(3a%5E3-2b%5E2)%5E2.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(2a%2B3b)%5E2.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(5x-4y)%5E2.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(7m-6n)%5E2.%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cleft(11x-%5Cfrac12y%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%266%E3%80%81(a%5E2%2Bb%5E2)%5E2.%20%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a%5E3-b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%268%E3%80%81(x%5E3%2Bx%5E2)%5E2.%5C%5C%0A%269%E3%80%81(a%5E3-a)%5E2.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(3x%5E3-5a%5E2)%5E3%5C%5C%0A%2611%E3%80%81(11a%5E5%2B7b%5E4)%5E2.%5C%5C%0A%2612%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Da%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Db%5E3%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(0.3a%5E2-0.2a)%5E2.%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(5a%5E3x%5E2-4b%5E2y)%5E2.%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(-7a%5E2x%5E4-8bx%5E2)%5E2.%5C%5C%0A%2616%E3%80%81%5Cleft(-8ab%5E3e%5E5%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%2617.(99)%5E2%5Ctext%7B%20%5B%E6%8F%90%E7%A4%BA%3A%20%7D99%3D100-1%5D.%5C%5C%0A%2618.(102)%5E2.%5C%5C%0A%2619.(1.99)%5E2%5Ctext%7B%20%5B%E6%8F%90%E7%A4%BA%3A%20%7D1.99%3D2-0.01%5D.%5C%5C%0A%2620.(91)%5E2.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法举例：(3a³－2b²)²＝(3a³)²－2(3a³)(2b²)＋(2b²)²＝9a⁶－12a³b²＋4b⁴]

用公式计算，直接写出结果(21~30)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2621%E3%80%81(3x%5E2-5y)%5E2.%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(3x%2B2y)%5E2.%5C%5C%0A%2623%E3%80%81(5a-b)%5E2.%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(a%5E2%2B3)%5E2.%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(3a%5E5-2b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(3a%5E2b%5E2%2B1)%5E2.%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(3ax%5E2y-2b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(a%5E2-10b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(-abc-3)%5E2.%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(-a%5E3%2B2a%5E2)%5E2.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法举例：(3x²－5y)²＝9x⁴－30x²y＋25y² ]

例10.利用乘法公式求 (a＋b＋c)² 。

【解1】演算分二步，先把前面两项添上括号作为公式里的 a，求出积，而后再应用一次公式。

(a＋b＋c)²＝[(a＋b)＋c]²＝(a＋b)²＋2(a＋b)c＋c²＝a²＋2ab＋b²＋2ac＋2bc＋c² 。

【解2】把后面两项添上括号作为公式里的 b，逐步求积。

(a＋b＋c)²＝[a＋(b＋c)]²＝a²＋2a(b＋c)＋(b＋c)²＝a²＋2ab＋2ac＋b²＋2bc＋c² 。

例11.利用乘法公式求 (a－2b＋3c)² 。

【解1】前面两项添上括号：

(a－2b＋3c)²＝[(a－2b)＋3c]²＝(a－2b)²＋2(a－2b)3c＋(3c)²＝a²－4ab＋4b²＋6ac－12bc＋9c² 。

【解2】后面两项添上括号，把第二项的性质符号“－”保留在括号外，括号内各项变换符号。

(a－2b＋3c)²＝[a－(2b－3c)]²＝a²－2a(2b－3c)＋(2b－3c)²＝a²－4ab＋6ac＋4b²－12bc＋9c² 。

例12.利用乘法公式求：(2a＋3b－4c)(2a＋3b＋4c) 。

【分析】这里是三项式乘以三项式，其中有两项完全相同，而另外一项差一性质符号，对前二项添加括号，先应用两数和与差的积的公式，再应用两项式平方公式。

【解】(2a＋3b－4c)(2a＋3b＋4c)＝[(2a＋36)－4c][(2a＋3b)＋4c]＝(2a＋3b)²－(4c)²＝4a²＋12ab＋9b²－16c² 。

例13.利用乘法公式求：(3a－4b＋5c)(3a＋4b－5c) 。

【分析】这里也是三项式乘以三项式，其中有一项完全相同，而另外两项部恰巧相差一性质符号，在这两项外面添上括号，这祥可以先应用两数和与差的积的公式，再应用二项式的平方公式。

【解】(3a－4b＋5c)(3a＋4b－5c)＝[3a－(4b＋5c)][3a＋(4b－5c)]＝(3a)²－(4b－5c)²＝9a²－(16b²－40bc＋25c²)＝9a²－16b²＋40bc－25c² 。

【注意】下面的做法是错误的：(3a－4b＋5c)(3a＋4b－5c)＝[(3a－4b)＋5c][(3a＋4b)－5c]＝(3a－4b)(3a＋4b)－(5c)²＝9a²－16b²－25c² 。因为这里 (3a－4b) 与 (3a＋4b) 不相同，公式里的 a 应该是相同的。

例14.利用乘法公式求：(3a＋4b－5c)(3a－4b－5c) 。

【分析】这里两个因式的第一项与第三项都相同，第二项相差一个性质符号，所以根据加法交换律把各因式中的第二项与第三项交换位置，然后各添一个括号，再应用乘法公式。

【解】(3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[(3a－5c)＋4b][(3a－5c)－4b]＝(3a－5c)²－(4b)²＝9a²－30ac＋25c²－16b² 。

【注意】下列添括号的做法都是错误的：

(1) (3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[3a＋(4b－5c)][3a－(4b－5c)] 。这个做法的错误是在后面因式添括号时外面保留负号而没有把括号内－5c 调换性质符号。

(2) (3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[3a＋(4b－5c)][3a－(4b＋5c)] 。这个做法在添括号时注意了变换性质符号，但这样括法并没有作用，因为两个因式中后面的一项不相同，一个是 4b－5c，另二个是 4b＋5c，所以不能应用两数和与差的积的公式。

(3) (3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[(3a＋4b)－5c][(3a－4b)－5c] 。这样做法虽然也和原式相等，但同上面一样，由于前面这一项不相同，不能应用乘法公式。

习题3-10(4)

适当添加括号，应用乘法公式求下列的积(1~12)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a-b-c)%5E2.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(2a%2B3b%2Bc)%5E2.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(3a-2b%2B4c)%5E2.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(5a%2Bb-2c)%5E2.%5C%5C%0A%265%E3%80%81(2a%2B3b-4c)(2a%2B3b%2B4c).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(5a-3b%2B4c)(5a-3b-4c).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a-2b%2B3c)(a%2B2b-3c).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(7a%2B3b-5c)(7a-3b-5c).%5C%5C%0A%269%E3%80%81(2a-5b%2B3c)(2a%2B5b%2B3c).%20%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(a%5E2-b%5E2%2Bc%5E2)(a%5E2%2Bb%5E2-c%5E2).%20%20%5C%5C%0A%2611%E3%80%81%20(3a%5E%7B2%7D-5b%5E%7B2%7D%2B2c%5E%7B2%7D)(3a%5E%7B2%7D-5b%5E%7B2%7D-2c%5E%7B2%7D)_%7B%5Cbullet%7D%20%20%5C%5C%0A%2612%E3%80%81(3x%5E2-5x%2B2)(3x%5E2%2B5x%2B2).%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

应用乘法公式化简(13~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2613%E3%80%81(a%2Bb)%5E2-(a-b)%5E2.%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(3x-2y)%5E2-(3x%2B2y)%5E2.%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(a%2Bb)(a-b)-(b%2Ba)(b-a).%5C%5C%0A%2616%E3%80%81(3a%2B2b)(3a-2b)%2B(3a-2b)%5E2.%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(a%2Bb%2Bc)%5E2-(a-b-c)%5E2.%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(2a%2Bb-3c)%5E2-(2a-b%2B3c)%5E2.%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(a%2B2b%2B3c)(a%2B2b-3c)-(a-2b%2B3c)(a%2B2b-3c).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3x-2y%2B5z)(5x%2B2y-3x)%2B(3x%2B2y%2B5z)(3x%2B2y-5z).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法举例：(a＋b)²－(a－b)²＝a²＋2ab＋b²－(a²－2ab＋b²)＝a²＋2ab＋b²－a²＋2ab－b²＝4ab ]

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81%20a%5E2-2ab-2ac%2Bb%5E2%2B2bc%2Bc%5E2%3B%20%5C%5C%0A%262%E3%80%814a%5E2%2B12ab%2B4ac%2B9b%5E2%2B6bc%2Bc%5E2%3B%20%5C%5C%0A%263%E3%80%819a%5E2-12ab%2B24ac%2B4b%5E2-16bc%2B16c%5E2%3B%5C%5C%0A%264%E3%80%8125a%5E2%2B10ab-20ac%2Bb%5E2-4bc%2B4c%5E2%3B%5C%5C%0A%265%E3%80%814a%5E2%2B12ab%2B9b%5E2-16c%5E2%3B%5C%5C%0A%266%E3%80%8125a%5E2-30ab%2B9b%5E2-16c%5E2%3B%5C%5C%0A%267%E3%80%81%20a%5E3-4b%5E2%2B12bc-9c%5E2%3B%20%5C%5C%0A%268%E3%80%8149a%5E%7B2%7D-70ac%2B25c%5E%7B2%7D-9b%5E%7B2%7D%3B%5C%5C%0A%269%E3%80%814a%5E%7B2%7D%2B12ac%2B9c%5E%7B2%7D-25b%5E%7B2%7D%3B%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81a%5E%7B4%7D-b%5E%7B4%7D%2B2b%5E%7B2%7Dc%5E%7B2%7D-c%5E%7B4%7D%3B%5C%5C%0A%2611%E3%80%819a%5E%7B4%7D-30a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%2B25b%5E%7B4%7D-4c%5E%7B4%7D%3B%5C%5C%0A%2612%E3%80%819x%5E4-13x%5E2%2B4%3B%5C%5C%0A%2614%E3%80%81-24xy%3B%5C%5C%0A%2615%E3%80%812a%5E2-2b%5E2%3B%5C%5C%0A%2616%E3%80%8118a%5E2-12ab%3B%5C%5C%0A%2617%E3%80%814ab%2B4ac%3B%5C%5C%0A%2618%E3%80%818ab-24ac%3B%5C%5C%0A%2619%E3%80%814ab%2B8b%5E2-12bc%3B%5C%5C%0A%2620%E3%80%8124xy.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

3、两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和）

【15】我们来计算：(a＋b)(a²－ab＋b²) 及 (a－b)(a²＋ab＋b²) 。

【16】用乘法计算，得到：

(a＋b)(a²－ab＋b²) ＝a³－a²b＋ab²＋a²b－ab²＋b³＝a³＋b³，

(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³＋a²b＋ab²－a²b－ab²－b³＝a³－b³ 。

【17】这就是说：

两数和乘以它们的平方和与它们的积的差等于它们的立方和；

两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于它们的立方差。

【18】用字母来表达，就得到两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和）的公式：

(a＋b)(a²－ab＋b²)＝a³＋b³（乘法公式4），

(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³（乘法公式5）。

例15.用公式计算：(1) (2a＋3b)(4a²－6ab＋9b²)；(2) (3x²－5y²)(9x⁴＋15x²y²＋25y⁴) 。

【分析】(1)在第一个因式里，我们有两数 2a 与 3b 的和，在第二个因式里，4a²＝(2a)²，9b²＝(3b)²，而－6ab＝－(2a)(3b)，刚刚是这两数的平方和与它们的积的差，可用乘法公式4 。

【解】(1) (2a＋3b)(4a²－6ab＋9b²)＝(2a＋3b)[(2a)²－(2a)(3b)＋(3b)²]＝(2a)³＋(3b)³＝8a³＋27b³ 。

【分析】(2) 9x⁴＝(3x²)²，25y⁴＝(5y²)²，15x²y²＝(3x²)(5y²)；第一个因式是两数差，第二个因式刚刚是它们的平方和与它们的积的和，可用乘法公式5 。

【解】(2) (3x²－5y²)(9x⁴＋15x²y²＋25y⁴) ＝(3x²－5y²)[(3x²)²＋(3x²)(5y²)＋(5y²)²]＝(3x²)³－(5y²)³＝27x⁶－125y⁶ 。

例16.用公式计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%3B(3a%5E3-4bc%5E2)%5Cleft(9a%5E6%2B12a%5E3bc%5E2%2B16b%5E2c%5E4%5Cright)%3B%5C%5C%0A%26(2)%5C%3B%5Cleft(4x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac12%5Cright)%5Cleft(16x%5E4y%5E3-2x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac14%5Cright).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(1)%26(3a%5E%7B3%7D-4bc%5E%7B2%7D)(9a%5E%7B6%7D%2B12a%5E%7B3%7Dbc%5E%7B2%7D%2B16b%5E%7B2%7Dc%5E%7B4%7D)%20%5C%5C%0A%26%3D(3a%5E%7B3%7D-4bc%5E%7B2%7D)%5Cleft%5B(3a%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%2B(3a%5E%7B3%7D)(4bc%5E%7B2%7D)%2B(4bc%5E%7B2%7D)%5E%7B2%7D%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%26%3D(3a%5E%7B3%7D)%5E%7B3%7D-(4bc%5E%7B2%7D)%5E%7B3%7D%3D27a%5E%7B9%7D-64b%5E%7B3%7Dc%5E%7B6%7D%3B%20%5C%5C%0A(2)%26%5CBig(~4x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig)%5CBig(~16x%5E4y%5E6-2x%5E3y%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5CBig)%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%5CBig(~4x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig)%5CBig%5B~(4x%5E2y%5E3)%5E2-(4x%5E2y%5E3)%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%5CBig%5D%5C%5C%0A%26%3D(4x%5E2y%5E3)%5E3%2B%5CBig(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig)%5E3%3D64x%5E6y%5E9%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

习题3-10(5)

用乘法公式计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(3a%2Bb)(9a%5E2-3ab%2Bb%5E2).%20%20%5C%5C%0A%26%202%E3%80%81(a-2x)(a%5E%7B2%7D%2B2ax%2B4x%5E%7B2%7D).%20%20%5C%5C%0A%26%203%E3%80%81(2a-3b)(4a%5E%7B2%7D%2B6ab%2B9b%5E%7B2%7D).%20%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(a%5E%7B2%7D%2Bb)(a%5E%7B4%7D-a%5E%7B2%7Db%2Bb%5E%7B2%7D).%20%5C%5C%0A%26%205%E3%80%81(2a%5E%7B2%7D%2B3b%5E%7B3%7D)(4a%5E%7B4%7D-6a%5E%7B2%7Db%5E%7B3%7D%2B9b%5E%7B6%7D).%20%20%5C%5C%0A%266%E3%80%81(3x%5E4-5y%5E3)(9x%5E8%2B15x%5E4y%5E3%2B25y%5E6).%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81%20(x%5E5-x%5E2)(x%5E%7B10%7D%2Bx%5E7%2Bx%5E4).%20%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81(3x%5E3y%2B2xy%5E2)(9x%5E6y%5E2-6x%5E4y%5E3%2B4x%5E2y%5E4).%20%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%20(x%5E4-x%5E2%2B1)(x%5E2%2B1).%20%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%20(a%5E4%2Ba%5E2b%5E2%2Bb%5E4)(a%5E2-b%5E2).%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例17.用公式计算：(1) (a＋b)(a²－ab＋b²)(a－b)(a²＋ab＋b²)；(2) (x＋2y)(x－2y)(x⁴＋4x²y²＋16y⁴) 。

【解】

(1) (a＋b)(a²－ab＋b²)(a－b)(a²＋ab＋b²)＝(a³＋b³)(a³－b³)＝(a³)²－(b³)²＝a⁶－b⁶；

(2) (x＋2y)(x－2y)(x⁴＋4x²y²＋16y⁴)＝(x²－4y²)(x⁴＋4x²y²＋16y⁴)＝(x²－4y²)[(x²)²＋x²(4y²)＋(4y²)²]＝(x²)³－(4y²)³＝x⁶－64y⁶ 。

【说明】

(1)先用乘法公式4与5得两个立方和与差的因式，再用乘法公式1 。

(2)先用乘法公式1把前面两个因式变成两数差，再用乘法公式5求得这两个式子的立方差。

习题3-10(6)

用乘法公式计算(1~6)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a%2B1)(a-1)(a%5E%7B4%7D%2Ba%5E%7B2%7D%2B1).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81(2a%2Bb)(2a-b)(16a%5E%7B4%7D%2B4a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B4%7D).%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(x-y)(x%2By)(x%5E%7B4%7D%2Bx%5E%7B2%7Dy%5E%7B2%7D%2By%5E%7B4%7D).%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(2a%5E2-3b%5E2)(2a%5E2%2B3b%5E2)(16a%5E8%2B36a%5E4b%5E4%2B81b%5E8).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(a-1)(a%5E%7B2%7D%2Ba%2B1)(a%5E%7B6%7D%2Ba%5E%7B3%7D%2B1).%20%20%5C%5C%0A%266%E3%80%81(x%2By)(x%5E%7B2%7D-xy%2By%5E%7B2%7D)(x%5E%7B6%7D-x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D%2By%5E%7B6%7D).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

利用乘法公式化简(7~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%267%E3%80%81(x-y)(x%5E2%2Bxy%2By%5E2)%2B(2x%2By)(4x%5E2-2xy%2By%5E2).%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81(x%5E2%2By%5E2)(x%5E4-x%5E2y%5E2%2By%5E4)-(x%5E2-y%5E2)(x%5E4%2Bx%5E2y%5E2%2By%5E4).%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%20(x%5E2-4y%5E2)(x%5E4%2B4x%5E2y%5E2%2B16y%5E4)-(x%5E3-8y%5E3)(x%5E3%2B8y%5E3).%20%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(x%5E2%2By%5E2)(x%5E4-x%5E2y%5E2%2By%5E4)-(x%5E3%2By%5E3)%5E2.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81a%208-1%3B%5Cquad%26%262%E3%80%8164a%5E6-b%5E6%3B%5C%5C%0A%26%263%E3%80%81x%5E6-y%5E6%3B%0A%26%264%E3%80%8164a%5E%7B12%7D-729b%5E%7B12%7D%3B%5C%5C%0A%26%265%E3%80%81a%5E9-1%3B%0A%26%266%E3%80%81x%5E9%2By%5E3%3B%5C%5C%0A%26%267%E3%80%819x%5E3%3B%0A%26%268%E3%80%812y%5E6%3B%5C%5C%0A%26%269%E3%80%810%3B%0A%26%2610%E3%80%81-2x%5E3y%5E3.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

4、二项式的立方

【19】我们来计算：(a＋b)³ 和 (a－b)³ 。

【20】用乘法计算，得到：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%5E%7B3%7D%20%26%3D(a%2Bb)%5E2(a%2Bb)%3D(a%5E2%2B2ab%2Bb%5E2)(a%2Bb)%20%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B2a%5E2b%2Bab%5E2%2Ba%5E2b%2B2ab%5E2%2Bb%5E3%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B3a%5E2b%2B3ab%5E2%2Bb%5E3%2C%20%5C%5C%0A%5Cleft(a-b%5Cright)%5E%7B3%7D%26%20%3D(a-b)%5E%7B2%7D(a-b)%3D(a%5E%7B2%7D-2ab%2Bb%5E%7B2%7D)(a-b)%20%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3-2a%5E2b%2Bab%5E2-a%5E2b%2B2ab%5E2-b%5E3%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3-3a%5E2b%2B3ab%5E2-b%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【21】那就是：

两数和的立方等于第一数的立方，第一数的平方与第二数的积的 3 倍，第二数的平方与第一数的积的 3 倍，及第二数的立方这四项的和；

两数差的立方等于第一数的立方，减去第一数的平方与第二数的积的 3 倍，加上第二数的平方与第一数的积的 3 倍，再减去第二数的立方。

【22】用字母来表示，可以得到下面的二项式的立方公式：

(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³（乘法公式6），

(a－b)³＝a³－3a²b＋3ab²－b³（乘法公式7）。

例18.用公式计算：(1) (x＋y)³；(2) (x－y)³ 。

【解】

(1) (x＋y)＝x³＋3x²y＋3xy²＋y³；

(2) (x－y)³＝x³－3x²y＋3xy²－y³ 。

例19.用公式计算：(1) (2x＋3y)³；(2) (x²－y³)³ 。

【解】

(1) (2x＋3y)³＝(2x)³＋3(2x)²(3y)＋3(2x)(3y)²＋(3y)³＝8x³＋36x²y＋54xy²＋27y³；

(2) (x²－y³)³＝(x²)³－3(x²)²(y³)＋3(x²)(y³)²－(y³)³＝x⁶－3x⁴y³＋3x²y⁶－y⁹ 。

例20.计算： $%5Cscriptsize(1)%5C%3B(3x%5E3-2x%5E2)%5E3%3B%5Cquad(2)%5C%3B%5Cleft(4x%5E2%2B%5Cfrac12x%5Cright)%5E3$ 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(1)%26(3x%5E3-2x%5E2)%5E3%5C%5C%0A%26%20%3D(3x%5E%7B3%7D)%5E%7B3%7D-3%5Cleft(3x%5E%7B3%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%5Cleft(2x%5E%7B2%7D%5Cright)%20%2B3%5Cleft(3x%5E3%5Cright)%5Cleft(2x%5E2%5Cright)%5E2-%5Cleft(2x%5E2%5Cright)%5E3%20%5C%5C%0A%26%3D27x%5E9-54x%5E8%2B36x%5E7-8x%5E6%3B%5C%5C%0A(2)%26%5Cleft(4x%5E2%2B%5Cfrac12x%5Cright)%5E3%5C%5C%0A%26%20%3D(4x%5E2)%5E3%2B3%5Cleft(4x%5E2%5Cright)%5E2%7B%5Cleft(%5Cfrac12x%5Cright)%7D%20%20%2B3%5Cleft(4x%5E2%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac12x%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Cfrac12x%5Cright)%5E3%20%5C%5C%0A%26%3D64x%5E6%2B24x%5E5%2B3x%5E4%2B%5Cfrac18x%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

习题3-10(7)

用乘法公式计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(m%2Bn)%5E3.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(m-2n)%5E3.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(2x%2By)%5E3.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(3a-2b)%5E3.%5C%5C%0A%265%E3%80%81(x%5E2%2B2)%5E3.%5C%5C%0A%266%E3%80%81(x%5E2-a%5E2)%5E3.%5C%5C%0A%267%E3%80%81(3x%5E2-2x)%5E3.%5C%5C%0A%268%E3%80%81(5x%5E3%2B2a)%5E3.%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac12ax-%5Cfrac13b%5Cright)%5E3.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac13a%5E3-%5Cfrac12a%5Cright)%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%267%E3%80%8127x%5E6-54x%5E5%2B36x%5E4-8x%5E3%3B%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81125x%5E%7B9%7D%2B150x%5E%7B6%7Da%2B60x%5E%7B3%7Da%5E%7B2%7D%2B8a%5E%7B3%7D%3B%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cfrac18a%5E%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-%5Cfrac14a%5E%7B2%7Dbx%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac16ab%5E%7B2%7Dx-%5Cfrac1%7B27%7Db%5E%7B3%7D%3B%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cfrac1%7B27%7Da%5E%7B9%7D-%5Cfrac16a%5E%7B7%7D%2B%5Cfrac14a%5E%7B5%7D-%5Cfrac18a%5E%7B3%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例21.用公式计算：(a＋b－c)³ 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(a%2Bb-c)%5E%7B3%7D%5C%5C%0A%26%20%3D%5Cleft%5B(a%2Bb)-c%5Cright%5D%5E%7B3%7D%20%20%5C%5C%0A%26%3D(a%2Bb)%5E3-3(a%2Bb)%5E2c%2B3(a%2Bb)c%5E2-c%5E3%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B3a%5E%5Cmathbf%7B2%7Db%2B3ab%5E%5Cmathbf%7B2%7D%2Bb%5E3%20-3%5Cleft(a%5E%7B2%7D%2B2ab%2Bb%5E%7B2%7D%5Cright)c%2B3ac%5E%7B2%7D%2B3bc%5E%7B2%7D-c%5E%7B3%7D%20%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B3a%5E2b-3a%5E2c%2B3ab%5E2-6abc%20%2B3ac%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B3%7D-3b%5E%7B2%7Dc%2B3bc%5E%7B2%7D-c%5E%7B3%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【注意】也可以先把后面两项括成一项，再用乘法公式计算。

例22.用乘法公式求 (103)³ 及 98³ 。

【解】

(103)³＝(100＋3)³＝100³＋3·100²·3＋3·100·3²＋3³＝1,000,000＋90,000＋2,700＋27＝1,092,727；

(98)³＝(100－2)³＝100³－3·100²·2＋3·100·2²－2³＝1,000,000－60,000＋1,200－8＝941,192 。

习题3-10(8)

利用乘法公式计算(1~6)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a%2Bb%2Bc)%5E3.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(a-2b-c)%5E3.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(102)%5E3.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(99)%5E3.%5C%5C%0A%265%E3%80%81(1.01)%5E3.%5C%5C%0A%266%E3%80%81(0.97)%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

化简(7~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%267%E3%80%81(a%2Bb)%5E3%2B(a-b)%5E3.%5C%5C%0A%268%E3%80%81(a%2Bb)%5E3-(a-b)%5E3.%5C%5C%0A%269%E3%80%81(2a%2B3b)%5E3-(2a-3b)%5E3.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(x%5E2-2y%5E2)%5E3-(x%5E2%2B2y%5E2)%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81a%5E3%2B3a%5E2b%2B3a%5E2c%2B3ab%5E2%2B6abc%2B3ac%5E2%2Bb%5E3%2B3b%5E2c%2B3bc%5E2%2Bc%5E3%3B%5C%5C%0A%262%E3%80%81%20a%5E3-6a%5E2b-3a%5E2c%2B12ab%5E2%2B12abc%2B3ac%5E2-8b%5E3-12b%5E2c-6bc%5E2-c%5E3%3B%5C%5C%0A%267%E3%80%812a%5E3%2B6ab%5E2%3B%5C%5C%0A%268%E3%80%816a%5E2b%2B2b%5E3%3B%5C%5C%0A%269%E3%80%8172a%5E2b%2B54b%5E3%3B%5C%5C%0A%2610%E3%80%81-12x%5E4y%5E2-16y%5E6.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

5、x 的两个一次二项式的积

(ⅰ) (x＋a)(x＋b) 的积

【23】直接做乘法，得到：(x＋a)(x＋b)＝x²＋ax＋bx＋ab＝x²＋(a＋b)x＋ab 。

【24】这就是说，形如 (x＋a)(x＋b) 的积是 x 的二次三项式，其中，x² 的系数是 1，x 的系数是两个因式的常数项的代数和，而常数项是两个因式的常数项的积：

(x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab（乘法公式8）。

例23.计算：(1) (x＋7)(x＋11)；(2) (x＋12)(x＋8)；(3)(x－8)(x－9)；(4) (x－12)(x－16) 。

【解】

(1) (x＋7)(x＋11)＝x²＋(7＋11)x＋7·11＝x²＋18x＋77；

(2) (x＋12)(x＋8)＝x²＋(12＋8)x＋12·8＝x²＋20x＋96；

(3) (x－8)(x－9)＝x²＋(－8－9)x＋(－8)(9)＝x²－17x＋72；

(4)(x－12)(x－16)＝x²＋(－12－16)x＋(－12)(－16)＝x²－28x＋192 。

【25】从上面四个例子，我们可以看出：当 a,b 都是正数或都是负数时，积的常数项是正的，x 的系数的绝对值等于 a 与 b 的绝对值的和，符号与 a,b 的符号相同。

例24.计算：(1) (x＋7)(x－5)；(2) (x＋12)(x－18)；(3) (x－12)(x＋3)；(4) (x－8)(x＋10) 。

【解】

(1) (x＋7)(x－5)＝x²＋(7－5)x＋(7)(－5)＝x²＋2x－35；

(2) (x＋12)(x－18)＝x²＋(12－18)x＋(12)(－18)＝x²－6x－216；

(3) (x－12)(x＋3)＝x²＋(－12＋3)x＋(－12)(3)＝x²－9x－36；

(4) (x－8)(x＋10)＝x²＋(－8＋10)x＋(－8)(10)＝x²＋2x－80 。

【26】从上面四个例子，我们可以看出：当 a,b 两数的性质符号相反时，积的常数项是负的；x 的系数的绝对值等于 a,b 两数绝对值的差，符号与 a,b 中绝对值较大一数的符号相同。

习题3-10(9)

计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(x%2B1)(x%2B2).%20%5C%5C%262%E3%80%81%20%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(x%2B4%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(x%2B7)(x%2B12).%20%5C%5C%264%E3%80%81%20(x%2B20)(x%2B18).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(x-4%5Cright).%20%5C%5C%266%E3%80%81%20%5Cleft(x-7%5Cright)%5Cleft(x-8%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(x-12)(x-6).%20%5C%5C%268%E3%80%81%20(x-18)(x-30).%20%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cleft(x%2B5%5Cright)%5Cleft(x-3%5Cright).%5C%5C%2610%E3%80%81%20(x%2B2)(x-6)%20%5C%5C%0A%2611%E3%80%81(x-24)(x%2B18).%20%5C%5C%2612%E3%80%81(x-32)(x-7).%20%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(a-51)(a%2B40).%20%5C%5C%2614%E3%80%81(a%2B20)(a%2B50).%20%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(a-7)(a-100).%20%5C%5C%2616%E3%80%81(a-13)(a%2B32).%20%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(x-20)(x%2B30).%20%5C%5C%2618%E3%80%81(x-12)(x-50).%20%5C%5C%0A%2619%E3%80%81%5Cleft(x-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright).%20%5C%5C%2620%E3%80%81%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright).%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A%0A%0A%20%0A%0A%0A$

(ⅱ) (ax＋b)(cx＋d)的积

【27】直接做乘法，得到：(ax＋b)(cx＋d)＝acx²＋bcx＋adx＋bd＝acx²＋(bc＋ad)x＋bd 。

【28】这就是说：形如 (ax＋b)(cx＋d) 的积是 x 的二次三项式，其中，x² 的系数等于两个因式中 x 的系数的积，常数项等于两个因式中常数项的积，而 x 的系数是两个因式的 x 的系数与常数项交叉相乘的积的和：

(ax＋b)(cx＋d)＝acx²＋(bc＋ad)x＋bd（乘法公式9）

【注】

在应用这个公式来计算时，为了便于求出积中 x²，x 的系数及常数项，也可以先把因式里 x 项的系数和常数项排成下面的形式：

把第一直行里两个数 a 和 c 相乘，就得积里 x² 的系数 ac，把第二直行里两个数 b 和 d 相乘，就得积里的常数项 bd，把两条对角线（斜线表示的）两数 a 和 d，b 和 c 分别相乘，它们的代数和就是积里 x 的系数 (ad＋bc) 。

这种算法，可以叫做交叉乘法。

例25.计算：(1) (3x＋2)(4x＋5)；(2) (3x－5)(2x－7)；(3) (6x－2)(3x＋4)；(4) (2x＋3)(3x－7) 。

【解】

例26.计算：(1) (x－5a)(x＋3a)；(2) (x²＋3)(x²－7)；(3) (3x²－5a)(2x²＋3a)；(4) (2x²＋3y²)(x²－2y²) 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5C%3B(x-5a)(x%2B3a)%3Dx%5E2-2ax-15a%5E2%3B%5C%5C%26(2)%5C%3B(x%5E2%2B3)(x%5E2-7)%3Dx%5E4-4x%5E2-21%3B%5C%5C%26(3)%5C%3B(3x%5E2-5a)(2x%5E2-3a)%3D6x%5E4-19ax%5E2%2B15a%5E2%3B%5C%5C%26(4)%5C%3B(2x%5E2%2B3y%5E2)(x%5E2-2y%5E2)%3D2x%5E4-x%5E2y%5E2-6y%5E4.%5Cend%7Baligned%7D$

例27.计算：(1) [(a＋b)－3][(a＋b)＋5]；(2) [2(x＋y)－3][3(x＋y)＋4] 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(1)%26%5C%3B%5Cleft%5B(a%2Bb)-3%5Cright%5D%5Cleft%5B(a%2Bb)%2B5%5Cright%5D%5C%5C%26%3D(a%2Bb)%5E2%2B2%5Cleft(a%2Bb%5Cright)-15%5C%5C%26%3Da%5E2%2B2ab%2Bb%5E2%2B2a%2B2b-15%3B%5C%5C%0A(2)%26%5C%3B%5Cleft%5B2%5Cleft(x%2By%5Cright)-3%5Cright%5D%5Cleft%5B3%5Cleft(x%2By%5Cright)%2B4%5Cright%5D%20%20%5C%5C%0A%26%3D6(x%2By)%5E2-(x%2By)-12%20%5C%5C%0A%26%3D6%5Cleft(x%5E%7B2%7D%2B2xy%2By%5E%7B2%7D%5Cright)-%5Cleft(x%2By%5Cright)-12%20%5C%5C%0A%26%3D6x%5E2%2B12xy%2B6y%5E2-x-y-12.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

习题3-10(10)

计算(1~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(x%2B3)(2x%2B1).%20%20%5C%5C%262%E3%80%81(3x%2B4)(5x%2B2).%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(2x-3)(3x-2).%20%20%5C%5C%264%E3%80%81(5x-4)(4x-5).%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cleft(3x%2B7%5Cright)%5Cleft(2x-4%5Cright).%20%5C%5C%266%E3%80%81(4x-3)(3x%2B1).%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(3x-2)(3x%2B5).%20%5C%5C%268%E3%80%81(5x-1)(5x-3).%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81(4x-1)(4x%2B3).%20%5C%5C%2610%E3%80%81(3x-5)(5x%2B6).%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

计算(11~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2611%E3%80%81(a%2B3b)(a%2B5b).%5C%5C%0A%2612%E3%80%81(a-3b)(a%2B7b)%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(x%2B2a)(x%2B3a).%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(x-3a)(x%2B8a).%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(a%2B10b)(a-7b).%5C%5C%0A%2616%E3%80%81(a%2B7b)(a-3b).%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(2a%2B3b)(3a-4b).%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(3x-2a)(5x-3a).%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(2a-5b)(3a%2B4b).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3a-5b)(4a-11b).%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

计算(21~34)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2621%E3%80%81(x%5E2-3y)(x%5E2-5y).%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(x%5E2-7y%5E2)(x%5E2%2B4y%5E2).%5C%5C%0A%2623%E3%80%81(a%5E2b%5E2-5)(a%5E2b%5E2%2B7).%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(a%5E2bc%2B12)(a%5E2bc%2B14).%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(xy%2Bab)(xy-2ab).%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(x%5E2%2B3x)(x%5E2%2Bx).%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(a-2b)(2a-3b).%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(3a%2Bb)(a%2B3b).%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(x%5E2-5)(2x%5E2%2B4).%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(ax%5E2-7b)(3ax%5E2%2B5b).%5C%5C%0A%2631%E3%80%81(a%2Bb%2B7)(a%2Bb-4).%5C%5C%0A%2632%E3%80%81(x-y-3)(x-y-4).%5C%5C%0A%2633%E3%80%81(a%2Bb-5)%5B3(a%2Bb)%2B2%5D.%5C%5C%0A%2634%E3%80%81%5B2(a-b)%2B7%5D%5B5(a-b)-4%5D.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2631%E3%80%81%20a%5E2%2B2ab%2Bb%5E2%2B3a%2B3b-28%3B%5C%5C%0A%2632%E3%80%81%20x%5E2-2xy%2By%5E2-7x%2B7y%2B12%3B%5Cquad%5C%5C%0A%2633%E3%80%813a%5E2%2B6ab%2B3b%5E2-13a-13b-10%3B%5C%5C%0A%2634%E3%80%8110a%5E2-20ab%2B10b%5E2%2B27a-27b-28.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

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【种花家务·代数】1-3-10乘法公式『数理化自学丛书6677版』

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