小姚老师 | 2-1-3 抽象函数问题

1️⃣单对称问题

—、抽象函数的对称性结论

1. 轴对称：

如果函数y = f(x)满足若x₁+x₂/2 =a，就有f(x₁) =f(x₂)，则f(x)的图象关于 x=a 对称.

2. 中心对称：

若函数y=f(x)满足若x₁+x₂/2=a，就有，f(x₁)+f(x₂)=b，则f(x)关于（a,b）对称.

3. 函数图象的对称轴和对称中心结论（规律：x系数相反是对称，x系数相同是周期）

f(x+a) =f(a-x)或f(2a+x) =f(-x)

• f(x)关于直线 x=a 对称（当a=0时，f(x)即为偶函数，关于y轴对称）

f(a+x)= f(b-x)

• f(x)关于直线 x=a+b/2 对称

f(a+x) +f(a-x) =0

• f(x)关于（a，0）对称（当a=0时，f(x)即为奇函数，关于原点对称）

f(a+x)+ f(b-x) =c

• f(x)关于（a+b/2，c/2）对称

注意：若将上述表格中结论里的x全部换成2x （或3x等等)，结论不变．例如，若f(2x+a)= f(a-2x)，则仍可得到f(x)关于直线x=α对称.

类型l：单对称问题

①x的系数；②f(…)=f(…)或f(…)+f(…)=c；③相加除以2

【例1】已知函数y=f(x)满足f(x)-f(2-x)=0（x ∈R），且在【1，+∞)上为增函数，则

1是对称轴，做个草图

A. f(-1) >f(1) >f(2)

B. f(1) >f(2) >f(-1)

C. f(-1) >f(2) >f(1)✓

D. f(2) >f(-1) >f(1)

【变式1】己知函数y= f(x)满足f(x)+ f(2-x)=0（x∈R），且在【1，+∞）上为增函数，则

对称中心：（1，0），在【1，+∞）上为增函数，画图

A. f(-1) >f(1) >f(2)

B. f(1) >f(2) >f(-1)

C. f(-1) >f(2) >f(1)

D. f(2) >f(1) >f(-1)✓

【变式2】已知函数f(x)满足f(x) =f(2-x)（x ∈R），若函数y= |x-1| -f(x)有3个不同的零点x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃ =3.

零点就是方程=0的根，移两侧变成变成图像的交点问题。画图像找三个交点。

x₁+x₂/2=1，x₃=1，全部加起来=3

【变式3】已知函数f(x)满足f(2-x) =2- f(x)（x ∈R），若f(-1)+ f(0)=4 ，则f(2)+f(3)=0

对称中心（1，1），画图

f(0)与f(2)跟f(-1)与f(3)

全部相加，题目条件代入

2️⃣抽象函数常见的周期结论（括号内x的系数相同）

后三个运用函数叠代的思想

双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：

①如果函数f(x)有两条对称轴，则f(x)一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.

②如果函数f(x)有一条对称轴，一个对称中心，则f(x)一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍

③如果函数f(x)有在同一水平线上的两个对称中心，则f(x)一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍

类型Ⅱ：双对称推周期问题

【例2】偶函数y= f(x)的图象关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=3

画图，T=4

【变式1】偶函数f(x)满足f(2-x) +f(x)=2，且f(4)=-1，则f(0)+f(1)=0

对称中心（1，1），T=4

f(0) =f(4) =-1

2018·新课标Ⅱ卷

若f(x)是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f(1-x) =f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+ f(2) +… + f(50)=

对称中心（0，0），对称轴是x=1，T=4，画图，前48项都抵消了，f(49)=2，f(50)=0

A. -50

B. 0

C. 2✓

D. 50

2021·新高考Ⅱ卷

已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)是偶函数，f(2x+1)是奇函数，则下列选项中值一定为0的是

f(x+2)是偶函数，x=0是对称轴

f(x)往左移2个单位得到f(x+2)

-f(2x+1) =f(-2x+1)

f(-2x+1) +f(2x+1) =0算他的对称中心f(x)：（1，0）

T=4，f(1)=0，画图

A. f(-1/2)

B. f(-1)✓

C. f(2)

D. f(4)

【变式4】奇函数f(x)满足f(2+x) +f(-x)=0（x ∈R），若当0≤x≤1时，f(x)=4x-4x²，则函数y= f(x) -lgx的零点个数为9.

对称中心（0，0）和（1，0）

画图，f(x) =lgx =g(x)

核心是找到最后一个交点

也就是f(x)的最大值是1

让lgx =1，x=10

3️⃣抽象函数赋值法

条件：已知f(xy)= f(x)f(y)这类关系式

目标：求函数值，或研究单调性、奇偶性等函数性质

方法：赋值法

• ①x=常，y=常，f(0)，f(1)…
• ②y=常，x不动，f(2x)，f(-x)
• ③y=-x，y=1/x，y=2x，f(1/x)，f(x)
• ④f(x) =lnx，f(x)=0

2023·新高考Ⅰ卷

已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x) +x²f(y)，则

A. f(0)=0✓【赋值法】

B. f(1)=0✓【f(1) =2f(1)，f(1)=0】

C. f(x)是偶函数✓【让y=1，f(-x)=f(x) +x²·f(-1)，让x=y=-1，f(-1)=0，代入上式变成f(-x) =f(x)】

D. x=0为f(x)的极小值点【f(x)=0，无极小值】

4️⃣原函数与导函数的对称结论

①若f(x)有对称轴x=a，则f'(x)有对称中心（a，0）.

证明：f(x)有对称轴x=a →f(a+x)= f(a-x)，两端求导可得f(a+x) =f(a-x )，所以f'(a+x) +f'(a-x)=0，故f'(x)关于点(a,0)对称.

②若f(x)有对称中心(a,b)，则f'(x)有对称轴x=a.

证明：f(x)有对称中心(a,b) →f(a+x) +f(a-x) =2b，两端求导得f'(a+x) -f'(a-x)=0，所以f '(a+x) =f'(a-x)，故f'(x)关于直线 x=a对称.

③若f'(x)有对称轴x=a，则f(x)有对称中心（a，b）

证明：f'(x)有对称轴x=a →f'(a+x) -f'(a-x) =0，我们把此式看成由某式求导得出，则该式为f(a+x) +f(a-x) =C，令C=2b得f(a+x) +f(a-x) =2b →f(x)关于点(a,b)对称；

特别地，当a=0时，f'(x)为偶函数，只能得出f(x)关于点(0,b)对称，不一定是奇函数.

④当f‘(x)有对称中心（a,b）时，若b≠0，则f(x)不一定有对称轴；若b=0，则f(x)有对称轴x=a

证明：f'(x)有对称中心(a,b)= f'(a+x)+ f'(a-x)- 2b=0，我们把上式看成由某式求导得出，则该式应为f(a+x)- f(a-x)-2bx=C，C为常数，

在上式中令x =0可得C=0，代入上式整理得：f(a+x)= f(a-x)+2bx，

当b=0时，上式即为f(a+x)= f(a-x)→f(x)有对称轴x=a，而当b≠0时，得不出有对称轴;

特别地，若a=b=0，即f(x)为奇函数，我们发现此时f(x)关于x=0对称，为偶函数.

【例4】己知f'(x)是函数f(x)的导函数，f(x+1)为奇函数，设g(x)= f'(x)，g(4-x) +g(x)=0（x∈R），且f(2)=2，则f(1) +f(2) +…+f(10) =2.

f(x)对称中心是（1，0）

g(x)对称中心是（2，0），f(x)对称轴是x=2

T=4，前八项抵消，f(9)=0，f(10)=2

把h(x) =f(3/2 -2x)，h(-x)=h(x)

f(x)：x=3/2，f'(x)对称中心（3/2，0）

g(x+2)，对称轴x=2. g(x)=f'(x)对称轴x=2

那么f(x)对称中心是（2，b）

T=2，画图

B：隔了一个周期，正确

D：g(-1)和g(-4)如图所示，错误

A：由于b不确定，无法确定是0，错误

C：图像是相同的，并且关于3/2对称，正确