考研数学08：导数公式的局限性

      上一节我们比较了导数极限定理与原函数存在定理，并且提到了导数极限定理可以用来求一点的导数。那么针对于函数求导问题，我们就有三种方法：

     （1）导数公式

     （2）导数定义

     （3）导数极限定理

     那么这三种方法之间有什么区别？我们在函数求导中应该利用什么方法？其中公式法是用来求区间内的导函数，导数定义和导数极限定理则是用来求一点的导数。在实际求导中，导数公式使用的最为广泛。但是导数公式却存在失效的情况。在公式法求导结果中有可能会新增无定义点。那么对于公式法求导结果的无定义点，我们不能直接判断导数不存在，而往往需要通过导数定义去求这一点的导数来补齐导函数在这一点的定义，解决这一点处导数公式失效的问题。如题：

我们使用求导公式求导，结果为：

   我们可以发现，公式法求导结果在x=0处无定义。但是f(x)本身却在x=0处有定义。也就是说公式法求导结果在原本函数的基础上新增了一个无定义点x=0。那么，函数f(x)在x=0处是否不可导？答案是否定的。我们在x=0处使用导数定义：

    使用导数定义之后发现x=0处的导数为0，函数在该点可导。所以导数公式的求导结果只是导函数的一部分，在x=0处导数公式失效需要使用导数定义求导。两者结果合起来形成导函数的表达式，是一个分段函数。

    那么问题来了。在x=0处只能使用导数定义求导吗？我们发现：

   （1）f(x)是初等函数。初等函数在定义区间内连续。而f(x)在x=0处有定义，意味着函数在该点连续。

   （2）导数公式的求导结果在x=0的去心邻域内有定义，意味着函数在x=0的去心邻域内可导。

   函数连续，去心邻域可导，正好满足导数极限定理的适用前提。所以在x=0处，除了使用导数定义，还可以使用导数极限定理：

   可以看到，使用导数极限定理依然可以计算出导数为0。那么针对导数公式失效的情况，我们选择导数定义还是导数极限定理？导数极限定理此时有一个巨大的优势，就是它是基于导数公式的求导结果进行计算的。导函数极限的那个导函数正是公式法的求导结果。而导数定义只能抛弃公式法的求导结果，重新构造一个新的极限进行计算。这意味着，在导数公式失效的情况下，使用导数极限定理往往更快得到求导结果。比如例题2：

    可以看到，求导公式在x=0处失效。那么请问函数在x=0处可导吗？可以发现，利用导函数极限定理可以立刻判断不可导，因为导数极限为无穷。而如果利用导数定义你得重新构造一个极限。

   由于导数极限定理的两个前提条件，很多人错误地认为导函数极限定理对做题没有帮助。实际上它是优于导数定义的。因为在具体函数求导时，这两个条件往往天然满足。

  （1）连续性。初等函数在定义区间内连续，间断点要么出现在无定义点处，要么出现在分段函数的分段点。所以连续性很好满足。

  （2）去心邻域可导。导数极限定理是基于公式法的求导结果的。而求导结果在去心邻域有定义保证了可导性。

   导数极限定理优于导数定义的地方正是在于它是基于导数公式的，是直接在求导结果上计算极限的，而无需构造新的极限式子。此外，分段函数分段点的导数也可以利用导数极限定理进行求取。