三角形中的线段（二）

上次我们算出了三角形的高，中线，角平分线的公式，当时我算出来的高的公式是√(-a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/2c。当时我以为括号里的式不能再化简了，直到后来看到一个视频，讲了如何因式分解式子 a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²，他将a看作字母，b，c看作数，进行因式分解，但是过程我不记得了，就顺着这个思路进行分解： 原式＝a⁴-2a²b²-2a²c²+b⁴+c⁴-2b²c² ＝a⁴-2（b²+c²）a²+b⁴+c⁴-2b²c² ＝a⁴-2（b²+c²）a²+（b²-c²）² 到这一步后，我一开始想用平方差公式和十字相乘法进行因式分解，但是发现用了平方差后就无法用十字相乘法分解了。思考了一段时间后，我想到了配方，： a⁴-2（b²+c²）a²+b⁴+c⁴-2b²c² ＝a⁴-2（b²+c²）a²+b⁴+c⁴+2b²c²-4b²c² ＝a⁴-2（b²+c²）a²+（b²+c²）²-4b²c² ＝（a²-b²-c²）²-（2bc）² ＝（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²+2bc） 这样，我们就把这个式子分解了 所以三角形边长为c的边上的高 h＝√[（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²+2bc）]/2c 面积S＝√[（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²+2bc）]/4 在求出三角形的中线长和角平分线长的公式后，我又想，能不能求出三角形顶点和将它的对边分成m,n两份的点的连线（我称之为分边线）的长度，以及将一个内角分为α和β两部分的线段（我称之为分角线）的长呢？也就是下面两幅图中的CD长

图1 分边线

图2 分角线 （1）分边线CD 和上次的思路一样，我仍然用余弦定理得出两个等式，然后相减 a²＝m²+l²-2mlcosα ① b²＝n²+l²-2nlcos（180°-α） ＝n²+l²+2nlcosα ② ①-②，得a²-b² ＝m²-n²-2lcosα（m+n） ＝（m+n）（m-n）-（m+n）2lcosα ＝（m+n）（m-n-2lcosα） ＝c（m-n-2lcosα） ＝mc-nc-2clcosα 所以2clcosα＝mc-nc-a²+b² 由余弦定理可以得到， cosα＝（m²+l²-a²）/（2ml） 所以2cl·（m²+l²-a²）/（2ml） ＝mc-nc-a²+b² 消去2l，两边同乘m，得 c（m²+l²-a²）=m²c-mnc-ma²+mb² 所以cm²+cl²-ca²＝m²c-mnc-ma²+mb² 消去cm²，将ca²变为ma²+na²并移到右边，得 cl²＝ma²+na²+mb²-ma²-mnc 约去ma²和-ma²，两边同除以c，得 l²＝（na²+mb²-mnc）/c ＝a²n/c+b²m/c+mn 所以l＝√（a²n/c+b²m/c+mn） （2）分角线CD 一开始，我打算用之前的方法，用余弦定理得出两个式子，然后不断变化，得出结果。但是我发现这种方法计算量很大（我懒得算了），所以我放弃了这种方法。 接着，我想到了数学中的转化思想。只要我用a，b，c，α，β表示出m/c，n/c以及mn，就可以直接代入分边线的公式得出分角线的公式。 这时就用到了面积法。 由于△BDC和△ADC在BD，AD边上的高相等，所以 S△BDC∶S△ADC＝BD∶AD 又因为S△BDC＝1/2×alsinα S△ADC＝1/2 ×blsinβ 所以S△BDC∶S△ADC＝asinα∶bsinβ 所以asinα∶bsinβ＝BD∶AD＝m∶n 所以m∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ 所以n/c＝bsinβ/（asinα+bsinβ） m/c＝asinα/（asinα+bsinβ） 那么怎么表示mn呢？ 因为m∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ 所以我们可以设 c＝k（asinα+bsinβ） m＝kasinα，n＝kbsinβ k＝c/（asinα+bsinβ） 所以mn＝k²absinαsinβ ＝abc²sinαsinβ/（asinα+bsinβ）² 所以l²＝a²n/c+b²m/c+mn ＝a²bsinβ/（asinα+bsinβ）+b²asinα/（asinα+bsinβ）+abc²sinαsinβ/（asinα+bsinβ）² ＝ab（asinβ+bsinα）（asinα+bsinβ）/（asinα+bsinβ）²+abc²sinαsinβ/（asinα+bsinβ）² ＝