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第 六 章  线性空间与线性变换

&1.线性空间的定义与性质

概念：

• 和：设V是一个非空集合，R为实数域。如果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ=α+β。

• 积：设V是一个非空集合，R为实数域。如果对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα。

• 向量空间（或线性空间）：上述两种运算满足一下八条运算规律（设α,β,γ∈V；λ,μ∈R）

    ——那么，V就称为（实数域R上的）向量空间（或线性空间），

    ——V中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量。

• 线性运算：凡满足上述八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算。

• 向量空间：凡定义了线性运算的集合，统称为向量空间。

• 向量定义的推广：

• 向量不一定是有序数组；

• 向量空间中的运算只要求满足上述八条运算规律，当然也就不一定是有序数组的加法及乘数运算。

性质：

1. 零元素是惟一的。

2. 任一元素的负元素是唯一的，α的负元素记作-α。

3. 0α=0；(-1)α=-α；λ0=0。

4. 如果λα=0，则λ=0或α=0。

&2.维数、基与坐标

概念：

• 线性空间的基与维数：在线性空间V中，如果存在n个元素α1,α2,...,αn，满足

• α1,α2,...,αn线性无关；

• V中任一元素α总可由α1,α2,...,αn线性表示

    ——那么，α1,α2,...,αn就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数；

    ——只含一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为0。

• n维线性空间：维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为Vn。

• 坐标：设α1,α2,...,αn是线性空间Vn的一个基，对于任一元素α∈Vn，总有且仅有一组有序数x1,x2,...,xn，使α=x1α1+x2α2+…+xnαn∈Vn，x1,x2,...,xn这组有序数就称为元素α在α1,α2,...,αn这个基下的坐标，并记作

&3.基变换与坐标变换

定理：

• 坐标变换公式：设Vn中的元素α，在基α1,α2,...,αn下的坐标为

    ——基β1,β2,...,βn下的坐标为

    ——若两个基满足关系式，则有坐标变换公式

&4.线性变换

概念：

• 从集合A到集合B的映射：设有两个非空集合A，B，如果对于A中任一元素α，按照一定的规则，总有B中一个确定的元素β和它对应，那么，这个对应规则称为从集合A到集合B的映射，我们常用字母表示一个映射，譬如把上述映射记作T，并记β=T(α)或β=Tα(α∈A)。

• 线性映射：设Vn，Um分别是n维和m维线性空间，T是一个从Vn到Um的映射，如果映射T满足

• 任给α1,α2∈Vn（从而α1+α2∈Vn），有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)；

• 任给α∈Vn，λ∈R（从而λα∈Vn）有T(λα)=λT(α)

    ——那么，T就称为从Vn到Um的线性映射，或称为线性变换。

&5.线性变换的矩阵表达式

概念：

• 设T是线性空间Vn中的线性变换，在Vn中取定一个基α1,α2,...,αn，如果这个基在变换T下的像（用这个基线性表示）为

    ——上式可表示为

    ——其中

    ——那么，A就称为线性变换T在基α1,α2,...,αn下的矩阵。