三角函数公式_5

在之前的专栏中, 我们推导了一些, 常用的三角函数的公式, 并讨论了这些公式的应用. 这期专栏中, 我们讨论反三角函数.

15. 反正切函数

利用单位圆, 可以得出如下结论:

对于  

使得

并且, 这样的 是唯一的.

在这种情况下, 我们定义反正切函数:

其中, "arc" 是表示圆弧的单词的缩写;

我们可以将 arctan x 理解为, 正切等于 x 的角, 在单位圆内对应的弧长:

反正切函数的作用, 是根据正切求角, 例如,

已知  , 且  , 则

于是, 我们就求出  .

如果不限定  的范围, 那结果就不唯一.

我们平常用三角函数, 是由角得到长度的比值关系; 而反三角函数, 则用于完成其逆过程.

对于反正切函数, 直接求导比较困难, 需要用反函数求导的方法,

所以,

反正切函数, 可以展开成幂级数的形式,

我们考虑如下等式:

当  时,

注意, 左侧是 arctan 的导函数, 所以

令 x = 0, 可知 C = 0, 所以

注意, 该展开式的适用范围, 是

求这个范围, 需要用到无穷级数的知识, 这里不做讨论.

如果我们, 需要在这个范围之外, 展开反正切函数, 那就需要代数变换, 

∵ 

∴ 

∴ 

于是, 对于  的情况, 我们可以这样计算:

16. 反正弦函数

对

使得

于是, 我们定义反正弦函数:

同样地 , 对于每一个 x, 这样的 θ 都是唯一的.

根据定义直接求导, 是很麻烦的, 所以, 我们利用反函数的性质,

所以,

17. 反余弦函数

对于 

使得 

并且, 对每个 来说, 这样的  是唯一的.

由此, 我们定义反余弦函数:

反余弦的导数的求法, 和反正弦类似, 我就不再啰嗦啦.

不过, 有一个更简单的办法:

设   

则    

由此得出

常用的反三角函数, 只有 arctan, arcsin, arccos 这 3 个, 对于另外的 3 个三角函数, 一般不研究其反函数.

关于三角函数的公式, 我暂时就写到这里.

如果大家有问题, 可以随时反馈, 我会尽量更新的. ^_^