探索勾股定理(四)
一、勾股数的定义
n 维数组向量中，勾股数的无穷乘积是勾股数。
对于勾股数的无穷乘积是勾股数的解释。分别以二维数组向量与三维数组向量为例。
首先来看二维数组向量的情形，例如二维数组向量 (3,4)，(5,12)，它们的模都是整数，所以它们都足勾股数，下面来看这两个勾股数的乘积与向量的线性运算间的联系。
已知勾股数的乘积是勾股数，因此，向量(3,4) 与 向量 (5,12) 的乘积是勾股数，可以通过复数的乘法反映出来。
(3+4i)(5+12i)＝-33+56i
为了看出复数的乘法运算与向量的线性运算的关系，我们对上式进行一些改动如下。勾股数的乘积是勾股数的解释：复数的乘法是一种线性运算。
勾股数 3+4i 与 5+12i 相乘，相当于作如下运算。
3(5+12i)＝15+36i
4(-12+5i)＝-48+20i
(15+36i)+(-48+20i)＝-33+56i
(3+4i)(5+12i)＝-33+56i
因此，复数的乘法就相当于向量间在作线性运算，它并不局限于勾股数之间的运算，勾股数之间的线性运算只是向量线性运算的形式而已。
再比如，复数 2+5i 与 7+6i 相乘，相当于作如下运算。
2(7+6i)＝14+12i
5(-6+7i)＝-30+35i
(14+12i)+(-30+35i)＝-16+47i
(2+5i)(7+6i)＝-16+47i
再比如，勾股数 3+4i 与 3+4i 相乘，相当于作如下运算。
3(3+4i)＝9+12i
4(-4+3i)＝-16+12i
(9+12i)+(-16+12i)＝-7+24i
(3+4i)(3+4i)＝-7+24i
......
象这样的例子不胜枚举，这迫使我重新认识勾股数，不再把它简单看作复数，而是看作满足某种条件的 n 维数组向量，从而把勾股定理看作是与 n 维数组向量相关联的定理，它对 n 维数组向量皆成立，而不仅局限于二维数组向量。同时，在向量的线性运算中引入了勾股数，使得方程具有整数解。下面给出勾股数的定义。
勾股数的定义：勾股数是这样一种 n 维数组向量，它是坐标与模都是整数的 n 维数组向量。坐标与模的关系服从勾股定理。
写成公式的形式就是：
k₁x₁²+k₂x₂²+...+kₙxₙ²=r*m² 式中，所有的量都是整数，且均不为零。
下面这些向量都是勾股数
(3,4) (3,4,12) (3,4,12,84) (7,6,6) (2,2,
2,2,2,2,2,2,2)......
因为这些向量的坐标都是整数且都满足勾股定理。
3^2+4^2＝5^2
7^2+6^2+6^2＝11^2
3^2+4^2+12^2＝13^2
3^2+4^2+12^2+84^2＝85^2
2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+
2^2=6^2
........
由于勾股数相乘与向量相乘是一回事，而且是线性运算，因此，矩阵作为线性运算的工作被引入顺理成章。下面就来看看如何用矩阵乘法实现勾股数相乘仍然是勾股数这一命题的。
矩阵A：12 -5 矩阵B： 4 3
5 12 3 -4
矩阵A*B 33 56
56 -33
矩阵B*A 63 16
16 -63
从上述运算可以看出，矩阵A 和 矩阵B的无论是行向量还是列向量都是勾股数，矩阵 A*B 或矩阵 B*A 的无论是行向量还是列向量也都是勾股数，这就和我在之前提出的勾股数的乘积是勾股数这一命题相一致，不过之前提出的有局限性，它仅是复平面上两个复数且是勾股数的乘积是勾股数，现在我把这个概念拓展到了 n 维数组向量上，把勾股数拓展为符合某种特定条件的 n 维数组向量，这样一来，勾股数的乘积是勾股数这一命题，就不仅是对复数来说，而是对 n 维数组向量来说，都是成立的。
矩阵相乘相当于向量组与向量组相乘，得到一个新的向量组，这与向量与向量相乘没有本质上的区别。
得出的结论是：n 维数组向量中，勾股数的无穷乘积是勾股数。
三维勾股数的乘积也是勾股数，讨论方法与上面的方法相同。例如
勾股数 (3,2,6) 与 勾股数 (1,4,8) 相乘，相当于作如下运算。
1*3+1*2+1*6= 11
4*3+4*2+4*6= 44
8*3+8*2+8*6= 88
得到一个新的勾股数：(11,44,88)
把上述运算以矩阵乘法表达如下：
矩阵A：3 2 6 矩阵B：1 4 8
1 4 8
1 4 8
矩阵A*B：11 44 88
矩阵A：3 2 6 矩阵B：1 4 8
1 -4 8
1 4 8
矩阵A*B：11 28 88
如果以勾股数 (3,2,6) 与 勾股数 (1,4,8) 为基础构建这样两个矩阵作乘法，则会得到一个勾股数组 (向量组的一种，因向量组中的行向量或列向量均是勾股数而得名) 。举例如下：
矩阵A：3 2 6
-2 -6 3
6 -3 -2
矩阵B：4 -1 8
-1 8 -4
8 -4 1
矩阵A*B：58 -11 22
22 -58 11
11 -22 58
矩阵B*A： 62 -10 5
-43 -38 26
38 37 34
可以看出，矩阵A*B 的向行量或列向量均是勾股数，矩阵B*A 的行向量均是勾股数，因此，它们都是勾股数组。
勾股数与正整数相乘仍然是勾股数，也可以用矩阵乘法来表示。例如
矩阵A：Z⁺(任意正整数)
矩阵B：a₁ a₂ a₃ … aₙ
矩阵A*B：Z⁺a₁ Z⁺a₂ Z⁺a₃ … Z⁺aₙ
矩阵A*B 是行向量，它仍然是勾股数。
二、矩阵乘法满足交换律
下面仅举几例说明＂矩阵乘法满足交换律＂。
矩阵A：58 -11 22
-22 58 -11
11 -22 58
矩阵B： 58 -22 11
-11 58 -22
22 -11 58
矩阵A*B：3969 -2156 2156
-2156 3969 -2156
2156 -2156 3969
矩阵B*A：3969 -2156 2156
-2156 3969 -2156
2156 -2156 3969
矩阵A： 3 12 84 4
12 3 4 84
84 4 3 12
4 84 12 3
矩阵B：-3 12 84 -4
12 -3 -4 84
84 -4 -3 12
-4 84 12 -3
矩阵A*B：7175 0 0 1992
0 7175 1992 0
0 7175 1992 0
1992 0 0 7175
矩阵B*A：7175 0 0 1992
0 7175 1992 0
0 7175 1992 0
1992 0 0 7175
矩阵A： 3 2 6
-2 -6 3
6 -3 -2
矩阵B： 3 -2 6
2 -6 -3
6 3 -2
矩阵A*B：49 0 0
0 49 0
0 0 49
矩阵B*A： 49 0 0
0 49 0
0 0 49
从上面一些例子可以看出，矩阵乘法是可以满足交换律的。
三、勾股定理与线性方程组的联系。
n 元 n( n 是任意正整数) 次方程的一般形式如下：
aₙxₙⁿ+aₙ₋₁xₙ₋₁ⁿ⁻¹+…+a₁x₁+a₀＝0
规定：所有的系数都不为零。
n 元 n 次方程组的形式如下：
k₁₁x₁+k₁₂x₂²+...+k₁ₙxₙⁿ=b₁²
k₂₁x₁+k₂₂x₂²+...+k₂ₙxₙⁿ=b₂²
k₃₁x₁+k₃₂x₂²+...+k₃ₙxₙⁿ=b₃²
......
kₙ₁x₁+kₙ₂x₂²+...+kₙₙxₙⁿ=bₙ²
方程组的系数构成一个矩阵
k₁₁ k₁₂ k₁₃ ... k₁ₙ
k₂₁ k₂₂ k₂₃ ... k₂ₙ
k₃₁ k₃₂ k₃₃ ... k₃ₙ
... ... ... ... ....
kₙ₁ kₙ₂ kₙ₃ ... kₙₙ
n 元二次方程组的形式如下：
k₁₁x₁²+k₁₂x₂²+...+k₁ₙxₙ²=b₁²
k₂₁x₁²+k₂₂x₂²+...+k₂ₙxₙ²=b₂²
k₃₁x₁²+k₃₂x₂²+...+k₃ₙxₙ²=b₃²
.......................
kₙ₁x₁²+kₙ₂x₂²+...+kₙₙxₙ²=bₙ²
n 元二次方程组是 n 元 n 次方程组的特殊形式，关于n 元 n 次方程组的解的结构还不太清楚。
勾股数与线性方程组的解。
下面是 n 元二次方程组的求解过程，从中可以看出它的解与勾股数之间的关系。
首先给出一个 三 元二次方程组：
9x₁²+4x₂²+16x₃²＝17²
20x₁²+8x₂²+4x₃²＝22² ①
x₁²+9x₂²+7x₃²＝19²
令 x₁²=a，x₂²=b，x₃²=c，将方程组 ① 变成如下的形式
9a+4b+16c＝289
20a+8b+4c＝484 ②
a+9b+7c＝361
这是一个线性方程组，下面解这个线性方程组，首先判断一下这个方程组解的结构。
计算方程组 ② 的系数矩阵的秩 R(A)
R(A)＝3
计算方程组 ② 增广矩阵的秩 R(A，b)
R(A，b)＝3
由于 R(A)＝R(A，b)＝3
所以方程组 ② 有唯一解，因此，方程组 ① 也有唯一解。
对方程组 ② 构成的增广矩阵作线性变换
9 4 16 289
20 8 4 484
1 9 7 361
得到下面的矩阵
9 4 16 289
0 -8 -284 -1424
0 0 2388 9552
上面这个矩阵对应下面这个方程组。
9x₁+4x₂+16x₃＝289
-8x₂-284x₃＝-1424 ③
2388x₃＝9552
求得方程组 ③ 的解为
a=9；b=36；c=4
由于方程组 ② 与方程组 ③ 为同解方程组，因此，此解也是方程组 ② 的解
。
再由 x₁²=a，x₂²=b，x₃²=c，求得方程组 ① 的解。
x₁=3，x₂²=6，x₃²=2
下面这个等式给出了方程组 ① 的解与勾股数 (3,6,2) 的关系。
x₁+x₂+x₃=3²+6²+2²=7²
探讨：如果 n 元 n 次方程组的次数大于 2 ，并且每一项的次数又都相等，则不论方程组中的系数取任何不为零的值，方程组都无解，这便是费马大定理在 n 维数组向量中成立的情况。即下式便是费马大定理更一般的形式。
k₁x₁ⁿ+k₂x₂ⁿ+...+kₙxₙⁿ≠bₙⁿ，当 n＞2时
上式又称为费马大定理的推广定理，它对 n 维数组向量都成立。必须指出的是费马大定理成立的前题是：向量的所有分量皆不相等，且所有分量都不为零。
四、勾股数函数。
专指从勾股数到勾股数的映射。
例如 A 是一个勾股数，Z 是一个正整数，则 Z*A 是一个勾股数。当 A＝(3,6,2) ， Z=2 时， Z*A=2(3,6,2)=(6,12,4)。这里的勾股数 A 是 n 维数组向量。这是一个 A 到 Z*A 的映射。
对于 n 维勾股数 A，存在正整数 Z，使得 A+Z 仍然是勾股数，这是 A 到 A+Z的映射。例如 A＝(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24)，存在 Z＝8，使得 A 的每一个元素加 8 后仍然是勾股数。B＝(3,4) 是勾股数，存在 Z＝17，使得 B+(17,17)仍然是勾股数。
A 满足勾股定理是勾股数。
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2＝70^2
A+8 仍然满足勾股定理也是勾股数。
(1+8)^2+(2+8)^2+(3+8)^2+(4+8)^2+(5+8)^2+(6+8)^2+(7+8)^2+(8+8)^2+(9+8)^2+(10+8)^2+(11+8)^2+(12+8)^2+(13+8)^2+(14+8)^2+(15+8)^2+(16+8)^2+(17+8)^2+(18+8)^2+(19+8)^2+(20+8)^2+(21+8)^2+(22+8)^2+(23+8)^2+(24+8)^2＝106^2
n 维勾股数的乘积是 n 维勾股数，取其中一个勾股数作为常向量，当另一个勾股数的值变化时，它们的乘积会有规律的变化。以二维勾股数为例说明。当常量 A＝(3,4) 时，与(5,12)相乘，结果得 (-33,56)，也是勾股数。A 与(8,
15)相乘得 (-36,77)，是勾股数。因此，如果 (a,b) 是勾股数，(3,4)*(a,b) 也是勾股数。
自变量是勾股数的函数称为勾股数函数，勾股数是一种特殊的 n 维数组向量，它的特殊性在于它的坐标值与模长总是整数。
五、素数与勾股数
在二维或三维数组向量中，如果它们的坐标值均为素数，则它们的坐标的平方和不能写成完全平方数，即这样的二维或三维数组向量的模长不能取整数值。
以素数作为坐标值的 n 维向量中，4 维向量的模长可取整数值。例如，向量(5,7,29,151)，它的模长是 154。
5^2+7^2+29^2+151^2＝154^2
由此推断：至少 4 个素数的平方和才可以写成完全平方数。
9个素数的平方和中存在完全平方数。
2^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+37^2＝54^2
11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2+31^2+37^2+137^2＝153^2
16个素数的平方和中存在完全平方数
。
11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2+31^2+37^2+41^2+47^2+59^2+67^2+71^2+73^2+79^2+83^2＝200^2
猜想：只有4个，9个，16个，25个，36…个不同素数的平方和才是完全平方数。
如果 n＞1 维数组向量的坐标值都是素数，那么，只有当数组向量的维数与数列｛4,9,16,25,36…｝中元素的个数相同时，这样的数组向量的模长才有可能取得整数值。
数列｛4,9,16,25,36…｝中元素的间隔构成等差数列｛5,7,9,11,13…｝。
