逻辑多元

ZFC公理(或任何其他集合T理论，就此而言)是不完整的。我们怎么知道的？通过“建造”ZFC的模型。因此，在ZFC的元理论中，我们可以讨论(并研究)集合论的多元宇宙。 集合论的宇宙是一种特殊的对象。多元宇宙理论的主要任务是不仅提供集合的解释，还提供宇宙的解释(这意味着我们的理论应该有目的地设计成也包含宇宙的描述)。 比较以下两种主要策略: ZFC公理(或任何其他集合T理论，就此而言)是不完整的。我们怎么知道的？通过“建造”ZFC的模型。因此，在ZFC的元理论中，我们可以争论(并研究)集合论的多元宇宙。 集合论的宇宙是一种特殊的对象。多元宇宙理论的主要任务是不仅提供集合的解释，还提供宇宙的解释(这意味着我们的理论应该有目的地设计成也包含宇宙的描述)。 比较以下两种主要策略: ZFC公理(或任何其他集合T理论，就此而言)是不完整的。我们怎么知道的？通过“建造”ZFC的模型。因此，在ZFC的元理论中，我们可以争论(并研究)集合论的多元宇宙。 集合论的宇宙是一种特殊的对象。多元宇宙理论的主要任务是不仅提供集合的解释，还提供宇宙的解释(这意味着我们的理论应该有目的地设计成也包含宇宙的描述)。 集合的概念是充分确定的，以生成结构(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性质没有被ZFC唯一地阐明(通过集合的概念)‘共存于’V([Väänänen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以说V继承了集合概念的不确定性。 设Vmult是所有V的集合，使得它们中的每一个都满足ZFC，并且每一个在“边缘”都不同于另一个。 我们多元宇宙理论的目的是cisely Vmult 我们多元宇宙理论的目的是ciselytodescribeVmult. 特尔努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse 集合的概念是充分确定的，以生成结构(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性质没有被ZFC唯一地阐明(通过集合的概念)‘共存于’V([Väänänen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以说V继承了集合概念的不确定性。 设Vmult是所有V的集合，使得它们中的每一个都满足ZFC，并且每一个在“边缘”都不同于另一个。 我们多元宇宙理论的目的是ciselytodescribeVmult. 特尔努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse 集合的概念是充分确定的，以生成结构(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性质没有被ZFC唯一地阐明(通过集合的概念)‘共存于’V([Väänänen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以说V继承了集合概念的不确定性。 设Vmult是所有V的集合，使得它们中的每一个都满足ZFC，并且每一个在“边缘”都不同于另一个。 集合的概念是充分确定的，以生成结构(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性质没有被ZFC唯一地阐明(通过集合的概念)‘共存于’V([Väänänen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以说V继承了集合概念的不确定性。 设Vmult是所有V的集合，使得它们中的每一个都满足ZFC，并且每一个在“边缘”都不同于另一个。 我们多元宇宙理论的目的是cisely Vmult HP1设法证明Vmult是正确的，假设: 1 V是可数的。 2 V的宽度延伸可以通过“围绕”V构建的结构中的“理论”来处理(见下一张幻灯片)。2 挑战假设V是不可数的。我们的项目旨在: 2 1保持V的“宽度扩展”的可定义性。断言各种各样的“宇宙”的存在。 1参见[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]详情请见。 2在一些与惠普相关的工作中，已经表明惠普的策略与关于V的各种本体论立场是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). HP1设法证明Vmult是正确的，假设: 1 V是可数的。 2 V的宽度延伸可以通过“围绕”V构建的结构中的“理论”来处理(见下一张幻灯片)。2 挑战假设V是不可数的。我们的项目旨在: 2 1保持V的“宽度扩展”的可定义性。断言各种各样的“宇宙”的存在。 1参见[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]详情请见。 2在一些与惠普相关的工作中，已经表明惠普的策略与关于V的各种本体论立场是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特尔努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse HP1设法证明Vmult是正确的，假设: 2 1 V是可数的。 V的宽度延伸可以通过“围绕”V构建的结构中的“理论”来处理(见下一张幻灯片)。2 假设V是不可数的。我们的项目旨在: 保持V的“宽度扩展”的可定义性。 断言各种各样的“宇宙”的存在。 1参见[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]详情请见。 2在一些与惠普相关的工作中，已经表明惠普的策略与关于V的各种本体论立场是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特尔努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse HP1设法证明Vmult是正确的，假设: 2 1 V是可数的。 V的宽度延伸可以通过“围绕”V构建的结构中的“理论”来处理(见下一张幻灯片)。2 假设V是不可数的。我们的项目旨在: 保持V的“宽度扩展”的可定义性。 断言各种各样的“宇宙”的存在。 1参见[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]详情请见。 2在一些与惠普相关的工作中，已经表明惠普的策略与关于V的各种本体论立场是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特尔努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse HP1设法证明Vmult是正确的，假设: 2 1 V是可数的。 V的宽度延伸可以通过“围绕”V构建的结构中的“理论”来处理(见下一张幻灯片)。2 假设V是不可数的。我们的项目旨在: 保持V的“宽度扩展”的可定义性。 断言各种各样的“宇宙”的存在。 1参见[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]详情请见。 2在一些与惠普相关的工作中，已经表明惠普的策略与关于V的各种本体论立场是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特尔努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse 给定V和V的a(宽度)延伸W，V和W在我们的理论中应该是‘标准的’(不需要的解释应该被排除)。 通过“标准”推理，每当我们有W |= ϕ，对于一些W |= T，其中w是v的外部模型，t是我们的“基础理论”，那么我们的公理应该能够陈述w是多元宇宙的一员。 给定V和V的a(宽度)延伸W，V和W在我们的理论中应该是‘标准的’(不需要的解释应该被排除)。 通过“标准”推理，每当我们有W |= ϕ，对于一些W |= T，其中w是v的外部模型，t是我们的“基础理论”，那么我们的公理应该能够陈述w是多元宇宙的一员。 给定V和V的a(宽度)延伸W，V和W在我们的理论中应该是‘标准的’(不需要的解释应该被排除)。 通过“标准”推理，每当我们有W |= ϕ，对于一些W |= T，其中w是v的外部模型，t是我们的“基础理论”，那么我们的公理应该能够陈述w是多元宇宙的一员。 设Lκ，λ是无限语言(λ < κ)，允许形成: 1长度<κ的合取和析取 2 <λ个变量的量化 无限逻辑比一阶逻辑有更强的表达能力。使用这样的逻辑之一将确保满足约束1:“V的宽度延伸”的表示将排除“不想要的”解释。 设Lκ，λ是无限语言(λ < κ)，允许形成: 1长度<κ的合取和析取 2 <λ个变量的量化 无限逻辑比一阶逻辑有更强的表达能力。使用这样的逻辑之一将确保满足约束1:“V的宽度延伸”的表示将排除“不想要的”解释。 设Lκ，λ是无限语言(λ < κ)，允许形成: 长度<κ的合取和析取 2 <λ个变量的量化 无限逻辑比一阶逻辑有更强的表达能力。使用这样的逻辑之一将确保满足约束1:“V的宽度延伸”的表示将排除“不想要的”解释。 设Lκ，λ是无限语言(λ < κ)，允许形成: 长度<κ的合取和析取 2 <λ个变量的量化 无限逻辑比一阶逻辑有更强的表达能力。使用这样的逻辑之一将确保满足约束1:“V的宽度延伸”的表示将排除“不想要的”解释。 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了: <κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数>ω <ω量词 v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了: <κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数>ω <ω量词 一个特殊的常数V，表示地面宇宙 一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型 长度小于κ+的无限合取和析取 v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了: <κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数>ω <ω量词 一个特殊的常数V，表示地面宇宙 一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型 长度小于κ+的无限合取和析取 v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了: <κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数>ω <ω量词 一个特殊的常数V，表示地面宇宙 一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型 长度小于κ+的无限合取和析取 v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了: <κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数>ω <ω量词 一个特殊的常数V，表示地面宇宙 一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型 长度小于κ+的无限合取和析取 v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了: <κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数>ω <ω量词 一个特殊的常数V，表示地面宇宙 一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型 长度小于κ+的无限合取和析取 我们知道证明可以用集合来编码。在V-逻辑中，证明是由Hyp(V)中的集合编码的，这是V之后最不允许的集合。 M上的容许集是KPU的模型AM，其形式为 AM =(M；一，∈，...).M上的纯容许集是容许集，M没有u元素(A集合A s.t. KP |= A)。 M上的最小容许集(记为HypM)是M上所有容许集的交集(并且等价于可构造论域的第α级Lα，其中α是M上最小容许序数)。 我们知道证明可以用集合来编码。在V-逻辑中，证明是由Hyp(V)中的集合编码的，这是V之后最不允许的集合。 M上的容许集是KPU的模型AM，其形式为 AM =(M；一，∈，...).M上的纯容许集是容许集，M没有u元素(A集合A s.t. KP |= A)。 M上的最小容许集(记为HypM)是M上所有容许集的交集(并且等价于可构造论域的第α级Lα，其中α是M上最小容许序数)。 我们知道证明可以用集合来编码。在V-逻辑中，证明是由Hyp(V)中的集合编码的，这是V之后最不允许的集合。 M上的容许集是KPU的模型AM，其形式为 AM =(M；一，∈，...).M上的纯容许集是容许集，M没有u元素(A集合A s.t. KP |= A)。 M上的最小容许集(记为HypM)是M上所有容许集的交集(并且等价于可构造论域的第α级Lα，其中α是M上最小容许序数)。 因此，在V-逻辑中，Hyp(V)(以下简称V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的证明代码在V +中。 现在，假设我们想要断言存在一个‘宇宙’W，一个V的宽度延伸。 我们从句法上进行:这样一个世界的存在等价于以下一致性陈述的证明: Con(T + ϕ) 其中t是我们的基础理论(BST)，ϕ= w的w性质。 |= ψ”，而ψ是一些 因此，在V-逻辑中，Hyp(V)(以下简称V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的证明代码在V +中。 现在，假设我们想要断言存在一个‘宇宙’W，一个V的宽度延伸。 我们从句法上进行:这样一个世界的存在等价于以下一致性陈述的证明: Con(T + ϕ) 其中t是我们的基础理论(BST)，ϕ= w的w性质。 |= ψ”，而ψ是一些 因此，在V-逻辑中，Hyp(V)(以下简称V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的证明代码在V +中。 现在，假设我们想要断言存在一个‘宇宙’W，一个V的宽度延伸。 我们从句法上进行:这样一个世界的存在等价于以下一致性陈述的证明: Con(T + ϕ) 其中t是我们的基础理论(BST)，ϕ= w的w性质。 |= ψ”，而ψ是一些 因此，在V-逻辑中，Hyp(V)(以下简称V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的证明代码在V +中。 现在，假设我们想要断言存在一个‘宇宙’W，一个V的宽度延伸。 我们从句法上进行:这样一个世界的存在等价于以下一致性陈述的证明: Con(T + ϕ) 其中t是我们的基础理论(BST)，ϕ= w的w性质。 |= ψ”，而ψ是一些 对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个ϕ = Con(T + ψ)的证明码。 属性ψ可以这样选择，以便表达所讨论的模型的某些相关特征。 (例如，对于W是基论域的集泛扩张，我们可以将W刻画为‘包含V上的P-泛滤子G并满足ψ’)。 对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个ϕ = Con(T + ψ)的证明码。 属性ψ可以这样选择，以便表达所讨论的模型的某些相关特征。 (例如，对于W是基论域的集泛扩张，我们可以将W刻画为‘包含V上的P-泛滤子G并满足ψ’)。 对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个ϕ = Con(T + ψ)的证明码。 属性ψ可以这样选择，以便表达所讨论的模型的某些相关特征。 (例如，对于W是基论域的集泛扩张，我们可以将W刻画为‘包含V上的P-泛滤子G并满足ψ’)。 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 2 类通用扩展(如上，有一些修改) 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 类通用扩展(如上，有一些修改) 超类-泛型扩展(同上) V的各种强制扩张 1中定义的所有模型的内部模型。-4 特尔努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 类通用扩展(如上，有一些修改) 超类-泛型扩展(同上) V的各种强制扩张 1中定义的所有模型的内部模型。-4 因此，约束2也将被满足:所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。 特尔努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 类通用扩展(如上，有一些修改) 超类-泛型扩展(同上) V的各种强制扩张 1中定义的所有模型的内部模型。-4 因此，约束2也将被满足:所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。 特尔努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 类通用扩展(如上，有一些修改) 超类-泛型扩展(同上) V的各种强制扩张 1中定义的所有模型的内部模型。-4 因此，约束2也将被满足:所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。 特尔努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 类通用扩展(如上，有一些修改) 超类-泛型扩展(同上) V的各种强制扩张 1中定义的所有模型的内部模型。-4 因此，约束2也将被满足:所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。 特尔努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 类通用扩展(如上，有一些修改) 超类-泛型扩展(同上) V的各种强制扩张 1中定义的所有模型的内部模型。-4 因此，约束2也将被满足:所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。 通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。 特别是，我们可能有: 一 集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G 超过V并满足ψ’) 类通用扩展(如上，有一些修改) 超类-泛型扩展(同上) V的各种强制扩张 1中定义的所有模型的内部模型。-4 因此，约束2也将被满足:所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。 在v-逻辑中，我们有:如果BST + ϕ(其中BST是我们的基础理论)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。 非正式地说，多元宇宙可以被视为一棵树:在树根处，我们选择了BST，在每个节点处，一个 Con(BST + ϕ)陈述，其中ϕ断言ψ是一些 集合论真理的进一步片段 提醒一句:在这个阶段，我们并没有假设W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理论T来处理 在v-逻辑中，我们有:如果BST + ϕ(其中BST是我们的基础理论)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。 非正式地说，多元宇宙可以被视为一棵树:在树根处，我们选择了BST，在每个节点处，一个 Con(BST + ϕ)陈述，其中ϕ断言ψ是一些 集合论真理的进一步片段 提醒一句:在这个阶段，我们并没有假设W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理论T来处理 在v-逻辑中，我们有:如果BST + ϕ(其中BST是我们的基础理论)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。 非正式地说，多元宇宙可以被视为一棵树:在树根处，我们选择了BST，在每个节点处，一个 Con(BST + ϕ)陈述，其中ϕ断言ψ是一些 集合论真理的进一步片段 提醒一句:在这个阶段，我们并没有假设W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理论T来处理 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 牛生长激素 康(英国夏令时+ ϕ0)康(英国夏令时+ ϕ1) 。。。 康(英国夏令时+ ϕ0 + χ0) Con(英国夏令时+ ϕ0 。。。 + χ1) 。。。 。。。 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 假设γvϕ和γv(ϕ→ψ)则γvψ。推广如果γv(ϕ→ψ(vn))和VN在ϕ有界 γv(ϕ→∀vnψ(vn)). v法则如果γv ϕ(m/v0)对于每一个m ∈ V那么γv ∀v0(m(v0)→ϕ(v0)). 请注意，在符号V ϕ中，如果γvϕ表示T = ∅.，则句子可由v法则证明 就约束3而言，我们有以下内容: 给定任意无限语言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，对于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏为任意长度，则|= σ不隐含▎σ V-逻辑的不完全性是一个特例。我们有: 如果v是不可数的，那么有γ，ϕ使得γ| = vϕaγv ϕ. 就约束3而言，我们有以下内容: 给定任意无限语言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，对于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏为任意长度，则|= σ不隐含▎σ V-逻辑的不完全性是一个特例。我们有: 如果v是不可数的，那么有γ，ϕ使得γ| = vϕaγv ϕ. 就约束3而言，我们有以下内容: 给定任意无限语言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，对于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏为任意长度，则|= σ不隐含▎σ V-逻辑的不完全性是一个特例。我们有: 如果v是不可数的，那么有γ，ϕ使得γ| = vϕaγv ϕ. 就约束3而言，我们有以下内容: 给定任意无限语言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，对于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏为任意长度，则|= σ不隐含▎σ V-逻辑的不完全性是一个特例。我们有: 如果v是不可数的，那么有γ，ϕ使得γ| = vϕaγv ϕ. 如果v在我们的v-逻辑多元宇宙理论t中是不可数的，那么就没有“真正的”外部模型w . s . t . v .⊆w，也就是说，没有断言其存在的v-逻辑理论的v-逻辑语义对应物。 因此，如果V是不可数的，约束3不满足，约束2仅在语法上完全满足:我们只能通过断言它们存在的理论来表示V的扩展。 如果v在我们的v-逻辑多元宇宙理论t中是不可数的，那么就没有“真正的”外部模型w . s . t . v .⊆w，也就是说，没有断言其存在的v-逻辑理论的v-逻辑语义对应物。 因此，如果V是不可数的，约束3不满足，约束2仅在语法上完全满足:我们只能通过断言它们存在的理论来表示V的扩展。 修正1(超宇宙):最简单的解决方案是假设V是可数的(V-逻辑对于V可数是完整的)。 然而，这在哲学上是有问题的。 修正2:我们满足于(公理化的)理论。由于各种原因，这种修复似乎更好，因为: 多元宇宙将在没有任何‘直觉’的情况下发展 我们仍然有多元宇宙成员的清晰表述 修正1(超宇宙):最简单的解决方案是假设V是可数的(V-逻辑对于V可数是完整的)。 然而，这在哲学上是有问题的。 修正2:我们满足于(公理化的)理论。由于各种原因，这种修复似乎更好，因为: 多元宇宙将在没有任何‘直觉’的情况下发展 我们仍然有多元宇宙成员的清晰表述 从历史上看，关注公理而不是语义在许多方面已经被证明是足够的 修正1(超宇宙):最简单的解决方案是假设V是可数的(V-逻辑对于V可数是完整的)。 然而，这在哲学上是有问题的。 修正2:我们满足于(公理化的)理论。由于各种原因，这种修复似乎更好，因为: 多元宇宙将在没有任何‘直觉’的情况下发展 我们仍然有多元宇宙成员的清晰表述 从历史上看，关注公理而不是语义在许多方面已经被证明是足够的 修正1(超宇宙):最简单的解决方案是假设V是可数的(V-逻辑对于V可数是完整的)。 然而，这在哲学上是有问题的。 修正2:我们满足于(公理化的)理论。由于各种原因，这种修复似乎更好，因为: 多元宇宙将在没有任何‘直觉’的情况下发展 我们仍然有多元宇宙成员的清晰表述 从历史上看，关注公理而不是语义在许多方面已经被证明是足够的 对于ϕ的每一个陈述和地面宇宙的每一个外部模型m，如果M |= ϕ，那么在v-逻辑中有一个ϕ的证明 任何相容的V-逻辑理论T都有V中的模型。 这个公理将解决“不完全性问题”，确保每个纯语义陈述的V-逻辑中存在一个证明 V 然而，目前还不清楚该公理应如何表述以显得“自然”，以及为什么它应被接受 更正式的说法是，∀m[γm∀ϕ| =ϕ= ϕ]. 更正式的说法是，∀m[γm∀ϕ| =ϕ= ϕ]. 对于ϕ的每一个陈述和地面宇宙的每一个外部模型m，如果M |= ϕ，那么在v-逻辑中有一个ϕ的证明 任何相容的V-逻辑理论T都有V中的模型。 这个公理将解决“不完全性问题”，确保每个纯语义陈述的V-逻辑中存在一个证明 然而，目前还不清楚该公理应如何表述以显得“自然”，以及为什么它应被接受 对于ϕ的每一个陈述和地面宇宙的每一个外部模型m，如果M |= ϕ，那么在v-逻辑中有一个ϕ的证明 任何相容的V-逻辑理论T都有V中的模型。 这个公理将解决“不完全性问题”，确保每个纯语义陈述的V-逻辑中存在一个证明 V 然而，目前还不清楚该公理应如何表述以显得“自然”，以及为什么它应被接受 更正式的说法是，∀m[γm∀ϕ| =ϕ= ϕ]. The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 因此，V逻辑多元宇宙理论可以被视为下列公理的集合: 1基础集合理论(BST) 2 (宽度多元宇宙)对所有ψ，和ϕ=“w ⊆(英国夏令时+ ϕ) |= ψ”(其中 3 进一步的公理？例如:IMH(和细化)，完整性等。 NB。如前所述，语言是Lκ+，ω，具有单独的常数:V 对于V和W，每个a ∈ V。 对于W，和无穷多个单独的常数a The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments 增加一个高度多元宇宙(由顶端延伸的 五) 使用更强的无穷逻辑:Lκ，ω且κ(至少)a 难以接近的红衣主教(见下一张幻灯片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(极大性) 考虑“替代的”V-逻辑:例如，如果V = L，考虑L-逻辑多元宇宙:这看起来是一个人可以拥有的最广泛的基于V-逻辑的多元宇宙概念(因为所有与L兼容的宇宙也与L的任何扩展兼容) 增加一个高度多元宇宙(由顶端延伸的 五) 使用更强的无穷逻辑:Lκ，ω且κ(至少)a 难以接近的红衣主教(见下一张幻灯片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(极大性) 考虑“替代的”V-逻辑:例如，如果V = L，考虑L-逻辑多元宇宙:这看起来是一个人可以拥有的最广泛的基于V-逻辑的多元宇宙概念(因为所有与L兼容的宇宙也与L的任何扩展兼容) 增加一个高度多元宇宙(由顶端延伸的 五) 使用更强的无穷逻辑:Lκ，ω且κ(至少)a 难以接近的红衣主教(见下一张幻灯片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(极大性) 考虑“替代的”V-逻辑:例如，如果V = L，考虑L-逻辑多元宇宙:这看起来是一个人可以拥有的最广泛的基于V-逻辑的多元宇宙概念(因为所有与L兼容的宇宙也与L的任何扩展兼容) 增加一个高度多元宇宙(由顶端延伸的 五) 使用更强的无穷逻辑:Lκ，ω且κ(至少)a 难以接近的红衣主教(见下一张幻灯片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(极大性) 考虑“替代的”V-逻辑:例如，如果V = L，考虑L-逻辑多元宇宙:这看起来是一个人可以拥有的最广泛的基于V-逻辑的多元宇宙概念(因为所有与L兼容的宇宙也与L的任何扩展兼容) 考虑Vω逻辑。这相当于V-逻辑，只是这里V 仅仅是秩初始段Vω 这个逻辑是完整的(因为Lω1，ω中的ω-完备性定理) 现在，考虑下一个完整的无限逻辑Lκ，ω，其中κ 至少是很难接近的。 问:有可能基于Lκ，ω定义一个vκ-逻辑吗 也是完整的。 考虑Vω逻辑。这相当于V-逻辑，只是这里V 仅仅是秩初始段Vω 这个逻辑是完整的(因为Lω1，ω中的ω-完备性定理) 现在，考虑下一个完整的无限逻辑Lκ，ω，其中κ 至少是很难接近的。 问:有可能基于Lκ，ω定义一个vκ-逻辑吗 也是完整的。 考虑Vω逻辑。这相当于V-逻辑，只是这里V 仅仅是秩初始段Vω 这个逻辑是完整的(因为Lω1，ω中的ω-完备性定理) 现在，考虑下一个完整的无限逻辑Lκ，ω，其中κ 至少是很难接近的。 问:有可能基于Lκ，ω定义一个vκ-逻辑吗 也是完整的。 考虑Vω逻辑。这相当于V-逻辑，只是这里V 仅仅是秩初始段Vω 这个逻辑是完整的(因为Lω1，ω中的ω-完备性定理) 现在，考虑下一个完整的无限逻辑Lκ，ω，其中κ 至少是很难接近的。 问:有可能基于Lκ，ω定义一个vκ-逻辑吗 也是完整的。 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 后一点导致以下可能的约束/原则: 给定v的一个延拓，比如说v∫，s . t . v .⊆v∫，每当有一个w延拓V s.t. W |= ϕ，我们就有一个对应的w∫，延拓v∫s . t . w∫| = ϕ. CUH断言，如果我们用一个更大的V *代替V，围绕一个更大的V *构建的多元宇宙不会减少与V兼容的真理集，也就是说，V *拥有与V一样多的兼容宇宙。 CUH也可以被看作是V的一个独立的和新的极大性原理(可能导致V成为V逻辑多元宇宙的‘极大核心’？). (问题1)考虑不同的基础理论，例如: T1 = ZFC + LCs，或者T2 = ZF + AD等等。围绕T1和T2构建的V -logic多元宇宙会有什么不同？(提示:使用前面提到的与V = L相关的兼容性概念) (问题2)考虑不同的V，其中V /= L。例如，假设V = Vκ，其中κ是“大”的大基数。vκ-逻辑多元宇宙会是什么样子？(该问题与提到的扩展Lκ，ω的目标有关) (问题1)考虑不同的基础理论，例如: T1 = ZFC + LCs，或者T2 = ZF + AD等等。围绕T1和T2构建的V -logic多元宇宙会有什么不同？(提示:使用前面提到的与V = L相关的兼容性概念) (问题2)考虑不同的V，其中V /= L。例如，假设V = Vκ，其中κ是“大”的大基数。vκ-逻辑多元宇宙会是什么样子？(该问题与提到的扩展Lκ，ω的目标有关)