拉格朗日辅助函数

牛顿380、拉格朗日辅助函数

 

拉格朗日辅助函数

拉格朗日中值定理证明的辅助函数怎么理解？
辅助函数是：F（x）=f（x）-{f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）}，求具体得到这个函数的过程。——网友提问

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~379》…

2019-09-02，冠一虞（yú）泽惠：

其实这个辅助函数F（X）=f（x）-h（x）中，h（x）=f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a） 就是一条过[a，f（a）]和[b，f（b）]的直线。
换句话说，就是一个连接AB两点的曲线f（x），减去连结AB两点的直线h（x）。
我附个图

{A表示[a，f（a）]，B表示[b，f（b）]}

图中曲线是f（x），直线是h（x），两个函数相减就是F（x）。
而拉格朗日中值定理的直观图像就是图中存在图像上某个点的切线（如图虚线），使得切线平行于AB。

…直观：见《牛顿220》…

…切、线、切线：见《牛顿288》…

 

从图里面可以很直观的看出，
而证明过程中用到辅助函数是为了把拉格朗日中值定理的情况化成罗尔中值定理的情况。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

你可以看出来，减去h（x）以后，f（x）变成F（x）。

 

不妨把h（x）写成kx+l，
则F’（x）=f’（x）-k

k是AB两点连线的斜率，要证明存在一点s，使得f’（s）=k，也就是证明存在一点s，使得F（s）=0。

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

由于F在x=a和x=b两点函数值为0，所以化成了罗尔中值定理的情况。

“直线OL的方程为y=[f（b）-f（a）]/（b-a）·x，其中[f（b）-f（a）]/（b-a）是斜率。

请看下集《牛顿381、拉格朗日中值定理第二种证法（第二种辅助函数构造法）》”

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