【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章直线、角、平行线——角和垂线 

§1-7角的度量和画法

【01】我们要知道一个角的大小，可以用量角器来度量。量角器（图1·37）是一个半圆形塑料板制成的。其中的点 O 是半圆形的圆心，把这个半圆弧等分成 180 个小格子，每一个小格表示 1 度，并在小格刻线的下面标明 0 到 180 每隔 10 度的度数，为了度量角度方便起见，在同一个量角器上标出次序正好相反的两排度数。

【02】我们用量角器度量角的度数时，先把量角器的圆心 O 放在角的顶点上，并使量角器上标明 0 度那条刻度线对准角的一边，角的另一边所对准的刻度线上所标明的度数，就是这个角的度数。

【03】如图13·8所示，∠ABC＝60°，其中量角器上的圆心 O 与 ∠ABC 的顶点 B 重合在一起，又角的边 BA 与量角器上的 0° 刻线重合，角的另一边 BC 与量角器上的 60° 刻线重合。

【04】反过来，我们也可以用量角器画出已知度数的角和画出与已知角相等的角。例如我们要画出等于 35° 的角，可先在平面上定一个点 O（图1·39），然后把量角器上的圆心对准点 O，再沿着量角器半圆周上的刻度定出 E，F 两点，从点 O 作射线 OE,OF，得出 ∠EOF 就是所要画的 35° 角。

【05】我们还可以用量角器画出等于几个角的和或者两个角的差的角，如图1·40中的 ∠ABC＝∠1＋∠2＋∠3  。

【06】如图1·41中的 ∠EOF＝∠4－∠5  。

【07】从角的相加可以看到，如果两个角共有一个顶点和一条公共的边，而且其他两边落在公共边的两旁，这样的两个角叫做互为邻角。例如图1·40中 ∠1 与 ∠2；∠2 与 ∠3 都是邻角。

【08】用量角器还可以画出等于一个已知角的整数倍的角。例如，要画一个角等于已知角 a 的 3 倍，它的画法就象上面所说的画等于几个角的和一样，只要在角 a 上加上2个角 a 就可以了。如图1·42中的 ∠POQ＝∠POR＋∠ROS＋∠SOQ＝∠a＋∠a＋∠a＝3∠a  。

【09】用量角器还可以等分一个角。先量出这个角的度数，以等分的份数去除这个角的度数，计算出每一份的度数后，按照这个度数画出所有的等分角线。例如，三等分 ∠AOB（图1·43）。先量得 ∠AOB＝66°，则每一份是 66°÷3＝22°  。再以 O 为顶点，作 ∠AOE＝∠EOF＝22°  。那末 OD 和 OF 就是 ∠AOB 的两条三等分线。

【10】如果把一个角分成二等分时，则中间那条射线叫做角平分线。

【11】在图1·44中 ∠AOC＝∠COB，射线 OC 就是 ∠AOB 的平分线，反过来，如果知道 OC 是 ∠AOB 的平分线，那末 ∠AOC＝∠COB  。

【12】讲到这里，我们已经学会用量角器来画出几个角的和、两个角的差、一个角的整数倍和一个角的几等分的角。但是，量角器的最小刻度是 1°，如果要画的那个角的度数不是整数，例如 35.3°，它的一边就在量角器上 35° 与 36° 之间，因此在画的时候就必须用目测来估计这边的位置，这样画出来的角就不可能很精确，总会有一些误差。所以，用量角器画角是一种近似画角的方法。但只要我们在画角的时候注意到它的精确度，是可以画出误差小于 1° 的角，这样，就认为是达到画角的要求了。

【13】取一张纸，在它的一边上标出一点 O（如图1·45）作为平角的顶点，OA 和 OB 分别是这个平角的两边，事实上 A,O,B 在一直线上了。

【14】如果把这张纸折过来，使折痕过点 O，并且射线 OA 与 OB 相重合，这时这个折痕就把这个平角分成相等的两个角，其中的每一个角都是平角的一半。我们把平角的一半叫做直角，通常用记号“”或“”来表示直角。

【15】在上图中的 ∠AOC＝∠COB，而且 ∠AOB 是平角，所以它们都是直角。直角的大小通常用字母 d 来表示，就是 ∠AOC＝d，∠COB＝d  。平角等于 2d  。周角等于 4d。

【16】因为所有的平角都相等，因此平角的一半也相等。所以直角都相等。

【17】我们从量角器上所刻的度数可以知道，一个平角是 180°  。因为一个周角是平角的 2 倍，所以周角是 360°  。一个直角是平角的一半，所以直角是 90°  。

【18】我们再看图1·46中所画的这些角：

【19】其中的 ∠A 和 ∠B 都小于直角。这种小于直角而大于 0° 的角叫做锐角（0° 的角可理解为一条射线没有转动时的角）。

【20】其中的 ∠C 和 ∠D 都此直角大。这种大于直角而小于平角的角叫做钝角。

【21】也可以有大于平角的角（图1·47）。但是现在我们所研究的都是小子或等于平角的角；至于比平角大的角，除非特别指明，一般我们不研究。

【22】为了要精确地表示一个角的大小，我们把一度分成 60 等分，每一份叫做一分，再把一分分成 60 等分，每一份叫做一秒。用度、分、秒等单位来计量角的大小，那就精确得多了。度、分、秒分别用符号“ ° ”、“ ′ ”、“ ″ ”来表示。例如一个角是 32度25分30秒，可以写成 32°25'30”  。

例1.如图1·48中 ∠AOB＝∠DOC，图中还有相等的角吗？为什么？

【解】因为 ∠AOB＝∠DOC，如果这个等式的两边同时加上 ∠BOC，就有 ∠AOB＋∠BOC＝∠DOC＋∠BOC，相加，得 ∠AOC＝∠DOB  。这是因为“等量加等量其和仍相等”的缘故。

例2.如图1·49中，已知 ∠AOC＝∠BOD，一定有 ∠AOB＝∠COD，为什么？

【解】因为 ∠AOC＝∠BOD，如果这个等式的两边同时减去 ∠BOC，就有 ∠AOC－∠BOC＝∠BOD－∠BOC，相减，得 ∠AOB＝∠COD  。这是因为“等量减等量其差仍相等”的缘故。

例3.如图1·50中，∠AOB 是直角，∠1＝21°30'，∠2＝50°15′，∠3 是多少度？

【解】因为 ∠AOB＝90°，∠1＝21°30'，∠2＝50°15′  。∴ ∠3＝90°－(21°30'＋50°15')＝90°－71°45＝18°15'  。答：∠3＝18°15'  。

例4.计算窗框（图1·51）相邻两根木条间所夹的角 a 是多少度？已知窗框间的夹角都是相等的。

【解】因为一个平角等于180°  。窗框之间的夹角 a 都是相等的，如图共有 6 个角a，∴ ∠a＝180°÷6＝30°  。答：∠a＝30°  。

例5.从点 O 引四条射线 OA,OB,OC 和 OD（图1.52），如果 ∠AOB,∠BOC,∠COD 和 ∠DOA的度数之比是 1:2:3:4，求这四个角各是几度？

【解】

        因为一个周角等于 360°，∴ ∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝360°  。

        已知 ∠AOB:∠BOC:∠COD:∠DOA＝1:2:3:4，我们从算术里的配分比例方法，求得

        

        答：∠AOB＝36°，∠BOC＝72°，∠COD＝108°，∠DOA＝144°  。

习题1-7

1、时钟在 3 点钟的时候，它的时针和分针成什么角？【直角】

2、根据下图填写下面空白，有几种答案都写出来。

(1) ∠AOC＝（）＋（）；【∠AOB，∠BOC】

(2) ∠BOD＝（）＋（）；【∠BOC，∠COD】

(3) ∠AOC－∠BOC＝（）；【∠AOB】

(4) ∠AOD－∠BOC＝（）＋（）；【∠AOB，∠COD】

(5) ∠DOC＝∠AOD－（）；【∠AOC】

(6) ∠AOD＝（）＋（）。【∠AOB，∠BOD或∠AOC，∠COD】

3、在图中 ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOB，哪一个角等于 ∠AOB 的 4 倍？哪些角等于 ∠BOC 的 3 倍？哪些角等于 ∠AOE 的二分之一。【∠AOE＝4∠AOB，∠AOD＝∠BOE＝3∠BOC，∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝1/2∠AOE】

4、如图中，两角 ∠AOC 和 ∠BOD 都是直角，那末 ∠AOB＝∠COD，为什么？[提示：∠AOB＝∠AOC－∠BOC，∠COD＝∠BOD－∠BOC]

5、试用一副三角板画出 30°，45°，60°，75°，90° 的角。[提示：用量角器度量一副三角板上有哪些度数的角，再用三角板依照角的画法画出上列各角]

6、任意画一个角，再用量角器：(1) 画出一个角等于它的 4 倍；(2) 把它三等分。

7、用量角器度量下图中三角形的三个顶角的大小（精确到1°），并且计算它们的和，再任意画二个三角形，分别度量它们的三个顶角的和，你发现了什么？【∠1＝65°，∠2＝35°，∠3＝80°，∠1＋∠2＋∠3＝180°（精确到1°）】

8、已知两个角的和等于 73°24′  。它们的差等于 23°，计算这两个角的大小。再用量角器近似地画出这两个角。【48°12′，25°12′】

9、根据下面的方位图，我们来看：北和东两个方向所成的角是几度？南和南西呢？北西和北东呢？西和南东呢？东和西呢？【90°，45°，90°，135°，180°】

10、用目测的方法来画出 30°，45°，120° 和 135° 各角，再用量角器来度量，检验画出的角的误差有几度？

11、画出一个锐角和一个钝角，先目测它们的大小，再用量角器来度量，检验目测的角度的误差。

12、从点 O 引射线 OA,OB,OC（如图），已知 ∠AOB＝90°，又 ∠AOB 和 ∠BOC 的角平分线所成的 ∠EOF 等于60°，求 ∠AOC 和∠COB  。[提示：先求出 ∠EOB，再求 ∠BOF]【∠AOC＝120°，∠BOC＝30°】

13、计算：

(1) 45°36′＋78°57'；【124°33′】

(2) 95°35′15″－48°47′26″；【46°47′49″】

(3) 55°32′16″×3；【166°36′48″】

(4) 163°40′÷8  。【20°27′30″】

14、从直角的顶点引一条射线，把它分成两个角，其中一个角比另一个角大 18 度，求这两个角的度数。【54°，36°】

15、从直角的顶点引一条射线把它分成两个角，这两个角的平分线所成的角是几度？【45°】

16、从直角的顶点引一条射线，把它分成的两个角的度数的比是 1:3，求这两角各是几度？【22°30′，67°30′】

17、把一平角三等分，求两旁边两角的平分线所成的角的大小。【120°】

18、把一直角四等分，求中间两个角的平分线所成的角的大小。【22°30′】

19、用折纸的方法把一个角分成 2 等分、4 等分。

20、挖泥时，铁锹与地面形成两个角，当人身边的角是另一个角的一半时最省力，求这两个角。【60°，120°】