【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep59】一个重要极限（二）

上次证明了数列xn=（1+1/n）^n是存在极限的，我们记这个极限值为e，也就是我们常用的自然对数的底数。

今天来聊这个值的近似计算和误差估计。

37数e的近似计算法

1.数e的近似计算

分析——

1. 先和上次一样把数列xn=（1+1/n）^n展开——

   xn=（1+1/n）^n

   =1+1+（1/2!）[1-（1/n）]+（1/3!）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+（1/n!）[1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（n-1）/n]

   ——这个式子去求e的近似值，计算量会很大，所以，我们考虑用另一个极限相同的数列去进行e的近似计算。

2. 我们上次在证明这个数列的有界性的时候，引入了一个新的数列——

   yn=1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!，显然，有xn<yn；

3. 下面我们就来证明yn的极限也是e。

证明——

1. 已知xn<yn，令n趋向于无穷大，有，lim xn<=lim yn，即e<=lim yn；

2. 我们取的前k+1项sk+1，k+1<n，则有sk+1<xn，即

   1+1+（1/2!）[1-（1/n）]+（1/3!）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+（1/k!）[1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（k-1）/n]<xn；

3. 令2中不等式两侧n趋向于无穷大，得到——

   lim {1+1+（1/2!）[1-（1/n）]+（1/3!）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+（1/k!）[1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（k-1）/n]}<lim xn，

   即2+（1/2!）+（1/3!）+……+（1/k!）<e；

4. 注意到3中所得不等式左侧即为数列yn第k项，yk=1+1+1/2!+1/3!+……+1/k!，所以，对于任意给定的数值n，都有yn<e，令n趋向于无穷大，则有lim yn<=e；

5. 综合1、4，lim yn=e。

所以，我们用yn的取值作为e的近似值，计算上会简单许多。下面我们来看看，这种近似方式取值的误差有多少。

2.yn与e的误差估计

分析——

1. 已知lim yn=e，而我们要求的误差值是e-yk，即lim yn-yk，其中k为给定的正整数；

2. 我们用另一种形式改写一下lim yn-yk=lim yk+b-yk，其中k为给定的正整数，等式左边n趋向于无穷大，等式右边则是b趋向于无穷大；

3. 由于给定k之后，yk即为确定的数，则lim yk+b-yk=lim yk+b-lim yk=lim（yk+b-yk），转而考察数列{yk+b-yk}的极限值——

分析——

1. yk+b-yk

   ={2+（1/2!）+（1/3!）+……+[1/（k+b）!]}-{2+（1/2!）+（1/3!）+……+（1/k!）}

   =[1/（k+1）!]+[1/（k+2）!]+[1/（k+3）!]+……+[1/（k+b）!]

   =[1/（k+1）!] {1+1/（k+2）+1/（k+2）（k+3）+……+[1/（k+2）（k+3）…（k+b）]}；

2. 注意到，k+j>=k+2，其中j为整数，且j>=2，则我们可以做一步放缩——

   yk+b-yk

   =[1/（k+1）!] {1+1/（k+2）+……+[1/（k+2）（k+3）…（k+b）]}

   <=[1/（k+1）!] {1+1/（k+2）+1/（k+2）^2+……1/（k+2）^（b-1）}

   =[1/（k+1）!]{1-[1/（k+2）]^b}/{1-[1/（k+2）]}；——等比数列求和公式；

3. 令b趋向于无穷，则有

   lim（yk+b-yk）<=lim [1/（k+1）!]{1-[1/（k+2）]^b}/{1-[1/（k+2）]}= [1/（k+1）!] [（k+2）/（k+1）]，

   即e-yk<= [1/（k+1）!] [（k+2）/（k+1）]。

最后，再进一步改写，将这个误差值改写成更简洁的形式——

分析——

1. [（k+2）/（k+1）]=1+1/（k+1）<1+1/k=（k+1）/k；

2. e-yk<= [1/（k+1）!] [（k+2）/（k+1）]< [1/（k+1）!][ （k+1）/k]=1/k!k；

3. 即用yn来逼近e的误差值，小于1/n!n。

下次我们将由此证明e是无理数。