【种花家务·代数】2-3-11列出方程组解应用题『数理化自学丛书6677版』

2023-12-06 16:02 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章一次方程组

§3-11列出方程组解应用题

【01】前面我们学过列出一元一次方程来解应用题。但是遇到问题中所要求的量多于一个的时候，利用这种解法列出方程有时是比较困难的。在学过了一次方程组以后，我们就可以多设几个未知数，列出方程组来求这些未知量，使解题比较容易，下面举例来说明。

例1.某生产队用 1 台拖拉机和 4 架畜力双铧犁耕地，一天共耕了 128 亩。另外有一块 244 亩的地，用 2 台拖拉机和 7 架畜力双铧犁也是刚好 1 天耕完。每台拖拉机和每架畜力双铧犁每天各耕地多少亩？

【分析】这个题目里要求两个未知量，如果用一元方程来解，列方程时需要较多的思考，为了容易列出方程，我们可以设两个未知数，列出方程组来解。

【解】设每台拖拉机每天耕地 x 亩，每架畜力双铧犁每天耕地 y 亩。那末：

1 台拖拉机和 4 架畜力双铧犁，一天耕地 (x＋4y) 亩；

2 台拖拉机和 7 架畜力双铧犁，一天耕地 (2x＋7y)亩。

根据题意，1 台拖拉机和 4 架畜力双铧犁一天耕地 128 亩，2 台拖拉机和 7 架畜力双铧犁一天耕地 244 亩，所以列出方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B4y%3D128%2C%26%26(1)%5C%5C2x%2B7y%3D244.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

(1) × 2－(2)：y＝12 。

以 y＝12 代入(1)，得 x＝80 。

∴ $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%3D80%2C%5C%5Cy%3D12.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

答：每台拖拉机每天耕地 80 亩，每架畜力双铧犁每天耕地 12 亩。

例2.甲、乙两人各购新书若干。如果甲从乙处拿过 10 本，那末甲所有的书就比乙所剩余的书多 5 倍；如果乙从甲处拿过 10 本，那末两个人所有的书相等。问原来每人各购几本书？

【解】设原来甲购 x 本书，乙购 y 本书。那末

甲从乙处拿过 10 本后，甲就有(x＋10)本，

乙给甲 10 本后，乙剩下(y－10)本。

甲所有的书比乙所余的书多 5 倍，就是甲所有的书是乙所余的书的 6 倍。

根据题意，列出方程组：

$%5Csmall%20%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B10%3D6%5Cleft(y-10%5Cright)%2C%26(1)%5C%5Cx-10%3Dy%2B10.%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

原方程组可以变形成

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx-6y%3D-70%2C%26%26(3)%5C%5Cx-y%3D20.%26%26(4)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

解这个方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D38%2C%5C%5Cy%3D18.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

答：原来甲购 38 本书，乙购 18 本书。

例3.一个工人用普通切削法完成一半任务以后，改用快速切削法做其余的一半，因此在 2 小时内完成全部任务。如果用普通切削法完成全部任务的 1/3 后，其余的改用快速切削法，1小时50分钟就可以完成全部任务。单独用普通切削法或者快速切削法完成全部任务，各需要多少小时？

【解】设用普通切削法完成全部任务，需要 x 小时，用快速切削法完成全部任务，需要 y 小时。

那末，用普通切削法完成一半任务所需的时间是 $%5Cscriptsize%5Cfrac12x$ 小时，用快速切制法完成其余的一半任务所需的时间是 $%5Cscriptsize%5Cfrac12y$ 小时。用普通切削法完成全部任务的 $%5Cscriptsize%5Cfrac13$ 后，其余的任务就是1－ $%5Cscriptsize%5Cfrac13$ 。

根据题意，列出方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dy%3D2%2C%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%2B%5Cleft(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)y%3D1%5Cdfrac%7B50%7D%7B60%7D.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

整理后，原方程组可以变成：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%3D4%2C%26(3)%5C%5Cx%2B2y%3D%5Cdfrac%7B11%7D%7B2%7D.%26(4)%5Cend%7Bcases%7D$

解这个方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7Dx%26%3D2%5Cdfrac12%2C%5C%5Cy%26%3D1%5Cdfrac12.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

答：用普通切削法完成全部任务需要 $%5Cscriptsize2%5Cfrac12$ 小时，用快速切法完成全部任务需要 $%5Cscriptsize1%5Cfrac12$ 小时。

习题3-11(1)

列出二元方程组解下列各应用题：

1、两个数的和等于 15，它们的差等于 3，求这两个数。【6，9】

2、两个数的比等于 5:6，它们的和等于 18.7，求这两个数。【8.5，10.2】

3、5 辆胶轮大车和 4 辆卡车一次能运货 24 吨；10 辆胶轮大车和 2 辆卡车一次能运货 21 吨。一辆胶轮大车和一辆卡车一次各能运货多少吨？【大车 $%5Cscriptsize1%5Cfrac15$ 电，卡车 $%5Cscriptsize4%5Cfrac12$ 吨】

4、一根质量均匀的棒 AB，全长是 1.5 米。在距 A，B 两端分别是 0.7 米和 0.8 米的一点 C 的地方，挂有 180 公斤重的物体。在 A，B 两点各用多少力往上提，才能使捧 AB 保持平衡？[提示：A 点往上提的力与 AC 距离的乘积，应当等于 B 点往上提的力与 BC 距离的乘积]【A点96公斤，B点94公斤】

5、某工厂第一车间的人数是第二车间人数的 4/5 少 30 人，如果从第二车间调 10 个人到第一车间，那末第一车间的人数是第二车间人数的 3/4 。求各车间的人数。【第一车间170人，第二车间250人】

6、一只船载重量是 520 吨，容积是 2000 立方米。现在有甲、乙两种货物，甲种货物每吨的体积是 2 立方米，乙种货物每吨的体积是 8 立方米。两种货物应该各装多少吨，才能最大限度利用船的载重量和容积？[提示：所谓最大限度利用船的载重量和容积，就是说，使甲乙两种货物重量的总和等于 520 吨，体积的总和等于 2000 立方米]【甲种360吨，乙种160吨】

7、甲、乙两工厂，按计划每月生产 360 架机床；上个月开展劳动竞赛运动，甲厂完成了计划的 112%，乙厂完成了计划的 110%，结果两厂一共生产了 400 架机床。上个月每个工各超额生产了多少架机床？【甲厂24架，乙厂16架】

8、甲、乙两班学生要把他们积的肥料 177 担送到附近的生产队去，现在知道甲班学生比乙班学生送的 2/3 多 7 担，两班学生各送了多少担？【甲班75担，乙班102担】

9、有一个长方形，如果它的长增加 6 厘米，宽减少 3 厘米，它的面积不变，如果长和宽各减少 4 厘米，那末所得的面积比原来的面积少 104 平方厘米.原来长方形的面积是多少？【216平方厘米】

10、某人乘自行车以每小时 15 公里的速度从甲地到乙地去，回来时因另有别的事情绕路回来多走了 3 公里，他行车的速度虽然每小时增加了 1 公里，但是所费的时间仍旧乡用了 $%5Cscriptsize7%5Cfrac12$ 分钟。去的路程和回来的路程各多少？【去15公里，回18公里】

11、要从浓度是 80% 和 15% 的两种酸配成浓度是 20% 的酸 4 公斤，两种酸各需多少公斤？【 80%的 $%5Cscriptsize%5Cfrac4%7B13%7D$ 公斤，15%的 $%5Cscriptsize3%5Cfrac9%7B13%7D$ 公斤】

例4.上等稻谷三束，中等稻谷二束，下等稻谷一束，共有谷 39 斗；上等稻谷二束，中等稻谷三束，下等稻谷一束，共有谷 34 斗；上等稻谷一束，中等稻谷二束，下等稻谷三束，共有谷 26 斗。上、中、下三等稻谷每束各有谷多少？

【这是我国古代算书“九章算术”（公元263年刘徽重辑）方程章里的一个题目，原题是：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，共有实 39 斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，共有实 34 斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，共有实 26 斗。问上中下禾各一乘有实多少？”古代解这问题用“直除'的方法。所谓直除，就是从一个方程累减（或累加）另一个方程的意思，它的原理和加减法解方程组相同。】

【解】设上等稻谷一束有谷 x 斗，中等稻谷一束有谷 y 斗，下等稻谷一束有谷 z 斗。

根据题意，列出方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D3x%2B2y%2Bz%3D39%2C%26(1)%5C%5C2x%2B3y%2Bz%3D34%2C%26(2)%5C%5Cx%2B2y%2B3z%3D26.%26(3)%5Cend%7Bcases%7D$

解这个方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7Dx%26%3D9%5Cdfrac14%2C%5C%5Cy%26%3D4%5Cdfrac14%2C%5C%5Cz%26%3D2%5Cdfrac34.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

答：上，中，下等稻谷每束分别有谷 $%5Cscriptsize9%5Cfrac14$ 斗 $%5Cscriptsize4%5Cfrac14$ 斗， $%5Cscriptsize2%5Cfrac34$ 斗。

习题3-11(2)

列出三元方程组解下列各应用题：

1、有一个三位数，它的十位上的数等于个位上的数与百位上的数的和，个位上的数与十位上的数的和等于 8，百位上的数与个位上的数互相调换后所得的三位数比原来的三位数大 99 。求这个三位数。【253】

2、三个数的和等于 51，第一个数除以第二个数，得到商是 2 而余 5；第二个数除以第三个数，得到商是 3 而余 2 。这三个数各是多少？【33，14，4】

3、汽车在平路上每小时走 30 公里，上坡路每小时走 28 公里，下坡路每小时走 35 公里。现在走 142 公里的路程，去的时候用 4 小时 30 分钟，回来的时候用 4 小时 42 分钟。这段路平路有多少公里？去的时候上坡路、下坡路各有多少公里？[提示：去时的上坡路、下坡路分别是回来时的下坡路和上坡路]。【平路30公里，上坡42公里，下坡70公里】

4、一个车间每天能生产甲种零件 300 个，或者乙种零件 500 个，或者丙种零件 600 个。甲、乙、丙三种零件各取一个配成一套，现在要在 28 天内使产品成套，生产甲、乙、丙三种零件应该各用几天？【甲种 $%5Cscriptsize13%5Cfrac13$ 天。乙种8天，丙种 $%5Cscriptsize6%5Cfrac23$ 天】

5、某工厂一个车间加工机轴和轴承，一个人每天平均可以加工机轴 15 个或者轴承 12 个，该车间共有 90 人，问应当分配多少个人加工机轴，多少个人加工轴承，才能使每天生产的机轴与轴承配套（一个轴承和一个机轴配成一套）？【加工机轴的是40人；加工轴承的是50人】

6、有三种合金：按重量算，甲种含金 5 份、银 2 份、铅 1 份；乙种含金 2 份、银 5 份、铅 1 份；丙种含金 3 份、银 1 份、铅 4 份。现在要熔成金、银、铅的量相等的合金 27 两，甲、乙、丙三种合金需各取多少两？【甲种1两，乙种11两，丙种15两】

7、有三种化学肥料：甲种每公斤含氮 53 克、磷 8 克、钾 2 克；乙种每公斤含氮 64 克、磷 10 克、钾 0.6 克；丙种每公斤含氮 70 克、磷 5 克、钾 1.4 克。某生产队要把上面三种化肥混成一种化肥，总重 23 公斤，其中共含磷 149 克、钾 30 克。三种化肥各需多少公斤？其中共含氮多少克？【甲种3公斤，乙种5公斤，丙种15公斤，氮1529克】

8、代数式 ax²＋bx＋c，在 x＝1 时的值是 0，在 x＝2 时的值是 3，在 x＝－3 时的值是 28。求这个代数式。[提示：分别以 x＝1，x＝2，x＝－3 代入，列出关于 a，b，c 的三元一次方程组，求 a，b，c 的值]【a＝2，b＝－3，c＝1】

例5.甲、乙两个工人共同工作，原计划 6 天完成全部任务。他们共同工作 4 天后，乙因为另有紧急任务需要调走，余下的任务由甲单独工作，5 天才全部完成。如果甲、乙两工人单独完成这一任务各要多少天？

【解】设甲单独完成这一任务需要 x 天，乙单独完成这一任务需要 y 天。那末，甲单独工作一天能完成全部任务的 1/x，乙能完成全部任务的 1/y；甲、乙两人类同工作一天，能完成全部任务的 $%5Cscriptsize%5Cfrac1x%2B%5Cfrac1y$ 。

根据题意，列出方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D6%5Cleft(%5Cdfrac1x%2B%5Cdfrac1%7By%7D%5Cright)%3D1%2C%26(1)%5C%5C4%5Cleft(%5Cdfrac1x%2B%5Cdfrac1y%5Cright)%2B%5Cdfrac5x%3D1.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

整理后，原方程组可以变成

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac6x%2B%5Cdfrac6y%3D1%2C%26%26(3)%5C%5C%5Cdfrac9x%2B%5Cdfrac4y%3D1.%26%26(4)%26%5Cend%7Bcases%7D$

设 1/x＝u，1/y＝v，那末方程 (3)，(4) 就变成

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D6u%2B6v%3D1%2C%26%26(5)%5C%5C9u%2B4v%3D1.%26%26(6)%5Cend%7Bcases%7D$

解 (5)，(6) 组成的方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Du%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B15%7D%2C%5C%5Cv%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%7D.%5Cend%7Bcases%7D$ 就是 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B15%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%7D.%5Cend%7Bcases%7D$ ∴ $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D15%2C%5C%5Cy%3D10.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

把 x＝15，y＝10 代入方程(1)和(2)都能适合。所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D15%2C%5C%5Cy%3D10.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

答：甲单独完成这一任务需要 15 天，乙单独完成这一任务需要 10 天。

例6.轮船顺流航行 80 公里，逆流航行 42 公里，共用 7 小时。另一次在同样时间里，顺流航行了 40 公里，逆流航行了 70 公里。求轮船在静水中的速度和水流的速度。

【解】设轮船在静水中的速度是每小时 x 公里，水流的速度是每小时 y 公里。那末，顺流航行的速度就是每小时 (x＋y) 公里，逆流航行的速度就是每小时 (x－y) 公里。

根据题意，列出方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B80%7D%7Bx%2By%7D%2B%5Cdfrac%7B42%7D%7Bx-y%7D%3D7%2C%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7B40%7D%7Bx%2By%7D%2B%5Cdfrac%7B70%7D%7Bx-iy%7D%3D7.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

设 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2By%7D%3Du$ ， $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-y%7D%3Dv$ ，那末原方程组就变成

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D80u%2B42v%3D7%2C%5C%5C40u%2B70v%3D7.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

解这个方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7Du%26%3D%5Cfrac1%7B20%7D%2C%5C%5Cv%26%3D%5Cfrac1%7B14%7D.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.$ 就是 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac1%7Bx%2By%7D%3D%5Cdfrac1%7B20%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac1%7Bx-y%7D%3D%5Cdfrac1%7B14%7D.%5Cend%7Bcases%7D$ ∴ $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bgathered%7Dx%2By%3D20%2C%5C%5Cx-y%3D14.%5Cend%7Bgathered%7D%5Cright.%5Cright.$

解这个方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%3D17%2C%5C%5Cy%3D3.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

把 x＝17，y＝3 代入方程(1)和(2)都能适合，所以这就是原方程组的解。

答：轮船在静水中的速度是每小时 17 公里，水流的速度是每小时 3 公里。

习题3-11(3)

列出方程组解下列应用题：

1、两只水管同时开放，经过 1 小时 20 分钟注满水池。如果第一只水管开放 10 分钟，第二只水管开放 12 分钟，那末只能注满水池的 2/15 。每只水管单独注清水池各器多少小时？【第一只2小时，第二只4小时】

2、一只汽艇顺流航行了 24 公里，到达目的地后，逆流回来，共用 2 小时 20 分钟。另一次在 1 小时 20 分钟内，顺流航行了 8 公里，逆流航行了 18 公里。求汽艇在静水里的速度和水流的速度。【静水21公里/时，水流3公里/时】

3、甲、乙两工人合作，在 12 天内可以完成一件工作。如果甲工作 2 天，乙工作 3 天，那末他们只能完成全部工作的 20% 。两人单独完成这件工作各要多少天？【甲20天，乙30天】

4、一个水池有甲、乙、丙三个进水管.甲、乙两管同时开放，1 小时 12 分钟可以注满水池；乙、丙两管同时开放，2 小时可以注满水池；甲、丙两管同时开放，1 小时 30 分钟可以注满水池，甲、乙、丙三个水管单独开放，各要多少小时才能注满水池？【甲2小时，乙3小时，丙6小时】

5、甲、乙、丙三人合做一件工程，15 天可以完成.如果甲、乙合做 10 天，其余的由丙单独做，那末还要 30 天才能完成；如果甲、丙合做 20 天，其余的由乙单独做，那末还要 8 天才能完成。问当甲、乙、丙每人单独做，要多少天才能完成这项工程？【甲45天，乙36天，丙60天】

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【种花家务·代数】2-3-11列出方程组解应用题『数理化自学丛书6677版』

习题3-11(1)

习题3-11(2)

习题3-11(3)