每周一题：随机切蛋糕和五门问题
### 本期题目： 随机切蛋糕 题目来源：new scientist
你有一块长条形的蛋糕（不常见，但是确实有），你在蛋糕上随机两个位置上插上了两根蜡烛。
现在你把蛋糕给了你的好友，你的好友也随机在蛋糕上挑了一个点，你过这个点，以平行于蛋糕短边的方向，将蛋糕切成两块。
问题是：这两块蛋糕上恰各有一根蜡烛的概率是多少？
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加餐题：五门问题
题目来源：new scientist
你参加一个娱乐夺宝节目，主持人告诉你这五扇门后的某一扇门后有一件奖品，其他门后则什么都没有。你如果正确打开这扇“幸运门“，则可以带走奖品。
主持人先让你选择了三扇门，你选了A, B, D。如同多数娱乐节目，主持人会搞些噱头。主持人（并不知道哪扇门后有奖品）依次打开了A, D, E门，发现这些门后面并没有奖品。现在，奖品只可能在B, 或C门后面。
主持人说：你确定要继续打开B门吗？我给你一次机会，你可以选择打开C门，但这是你的最后一次机会，你换还是不换？
你陷入了思索中，到底换还是不换？还是换与不换一个样？ 附加思考：主持人知道或不知道哪扇门后有奖品，对这个问题有影响吗？
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上周题目：丢失的袜子
大老李的洗衣机会“吃”袜子，每洗一次后，总是会丢一只袜子（大老李深有体会！）。上周，大老李丢了所有袜子，只好新买了三双。每次我总是把所有袜子丢进洗衣机一起洗。
那么，洗过三次之后，剩下三只单独袜子的概率是多少？或者说，大老李剩下至少一双完整的袜子的概率是多少？
答案：剩下三只单独袜子的概率是2/5或40%。
第一天洗过之后，必定剩下两双和一只袜子。第二天，又有一双袜子变单只的概率是4/5=0.8，此时剩下1双和两只单只的袜子。第三天，唯一一双完整袜子再丢掉一只的概率是2/4=0.5
因此，三天后剩下三只单独袜子的概率是0.8*0.5=0.4=40%，留下至少一双完整袜子的概率是60%。
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上期加餐题：立方体的最大投影面积
大老李闲来无事，拿了一个骰子在太阳底下玩，我发现这个骰子在地面上能投下的阴影最小面积是一个正方形，面积为1平方米。
请问：这个骰子能在地面投下的阴影面积最大是多少？
答案：最大面积为√3，约等于1.73平方米。图形见下图：
这是当骰子的一条体对角线垂直于地面时形成的阴影，此时等边三角形ABC的面积是 √3/2，因此整个阴影面积为 √3。
所有答对者的答案已置为精华。
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