今天再来分享一道数学题，话不多说，请看题

这里需要强调一下，下文中类似于a(n+1)这样的，非特殊说明，指的都是字母a的下角标为(n+1),不是做乘法！！！

sqrt(x)是指对x开方！！！

pi指的是圆周率！！！

看完本题，我第一个想法是尝试证明an是一个单调递增的数列，bn是一个单调递减的数列。然而在我把a2算出来后，这个想法就肯定是错的了。

解法一：

这里我会把每一步拆开了为大家进行讲解

由题目不难看出a（n+1）是an与bn的调和平均数，b(n+1) 是a(n+1)与bn的几何平均数，所以不难得到an>a(n+1)>bn且a(n+1)>b(n+1)>bn.

考虑换元，令cn=bn/an(至于为什么不是an/bn是为接下来更方便地操作）

那么c(n+1)=b(n+1)/a(n+1)=sqrt(a(n+1)*bn)/(2an*bn/an+bn)=sqrt(an+bn/2an)=sqrt(cn+1/2),到这里，我们已经找到了cn的递推公式。

相信下一步大家一定已经想到了——就是用余弦二倍角公式做迭代！！！

也就是上述的过程。

至此，我们已得到了cn的通项公式

接下来的思路自然就是通过cn来找出an和bn的通项公式。

我们先来找an的，如下

然后很自然地想到连乘：

当然连乘之后还是要处理一下子的，在分母乘一个sinθn,反复利用正弦二倍角公式

sinθn*cosθn=sin2θn/2=sin[θ(n-1)]/2,然后就可以套娃啦（doge

那么我们最后化简得到结果，就是an的通项公式了

经过最后一步简简单单的处理，这一道题就做完了！！！

解法一呢其实也就是常规解法，没有什么可圈可点之处，算得上是本手。

解法一不是重点，重点是我们的解法二，是数形结合的方法，可谓使妙手。

华罗庚先生曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微。”

解法二：

我们构造一个半径为三的圆O，使∠AOB=60°，DB,DA为圆的切线，G为劣弧AB的中点，EF为D处的切线分别于DB、DA交于E、F——————*

注意到AB的长度为b1=3,折线ADB的长度为a1=2*sqrt(3),弧AB的长度为pi.

注意到▲EDF~▲BDA，所以EF/BA=DF/DA，设折线AFEB的长度为x

所以x/2b1=(a1/2-x/4)/(a1/2)

整理得a1*x=2a1*b1-b1*x,即x=2a1*b1/(a1+b1)=a2.

注意到▲BEG~▲BGA，所以BG=sqrt(BE*AB)=sqrt(a2*b1)/2,即折线AGB的长度为2BG=sqrt(a2*b1)=b2.

我们只要不断地重复*中的做法，当弧AB被等分为2^n时,bn就是圆内的折线长度，an就是圆外折线的长度。

圆内折线的长度肯定小于弧AB（根据两点间线段最短可得），即bn<pi;

接下来只要证明圆外折线长度大于弧AB就可以了

这其实就是要证明AB的长度大于弧BC的长度。S扇形BOC=OB*（弧BC）/2，S▲ABO=AB*OB/2；因为后者大于前者，所以AB>弧BC。

至此，结论得证！！！

虽然法二我没写的很详细，但这也确实是一步妙手。