【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章有理数 

§1-18有理数的乘方

【01】我们来看下面的问题：

【02】问题1.一块正方形的地的一边长 8 米，它的面积是多少平方米？

【解】可以用乘法计算：8×8＝64  。答：这块地的面积是 64 平方米。

【03】问题2.一个正方体的每一条棱长是 8 米，它的体积是多少立方米？

【解】也可以用乘法计算：8×8×8＝512  。答：这个正方体的体积是 512 立方米。

【04】上面两个问题里的乘法都是相同因数的乘法。为了简便起见，我们把 8×8 用 8² 来表示，把 8×8×8 用 8³ 来表示。

【05】这就是说：相同因数的乘法，我们可以只写出一个因数，而在这个因数的右上角写上相同因数的个数。

【06】同样地，3×3×3×3 可以用 3⁴ 来表示；(－1)×(－1)×(－1)×(－1)×(－1) 可以用 (－1)⁵ 来表示。

【07】求相同因数的积的运算叫做乘方，这个相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，几个相同因数的积叫做底数的几次方，或者几次幂。例如 8² 读做 8 的二次方或者 8 的二次幂，也叫做 8 的平方；8³ 读做 8 的三次方或者 8 的三次幂，也叫做 8 的立方；3⁴ 读做3的四次方或者3的四次幂，(－1)⁵ 读做－1 的五次方或者－1 的五次幂。这里 8，3，－1 等是底数，而右上角的 2，3，4，5 等分别是指数。

【附注】一个数也可以当做这个数的一次幂或一次方，例如 5 可以看做 5¹，而这个指数 1 字是省略不写的。

【08】乘方就是相同因数的乘法，所以有理数的乘方，就只要依照有理数的乘法法则进行计算。

例1.计算：(－2)²；(－2)³；(－1)⁴；(－1)⁵  。

【解】

(－2)²＝(－2)×(－2)＝＋4；

(－2)³＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8；

(－1)⁴＝(－1)×(－1)×(－1)×(－1)＝＋1；

(－1)⁵=(－1)×(－1)×(－1)×(－1)×(－1)＝－1  。

【09】在这个例子里，可以看到：底数是负数时，它的偶次幂是正数，奇次幂是负数。

【10】这样，我们就得到下列乘方的运算法则：

【11】(ⅰ)正数的乘方，不论任何次幂，都是正数；

【12】(ⅱ)负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数；

【13】(ⅲ)零的任何次幂都是零；

【14】(ⅳ)幂的绝对值，就是底数的绝对值按指数的次数实际进行乘法运算的结果。

例2.读出下列各式子，并说明这个幂里面的底数和指数：(－3)²；(＋2)⁴；；(－1)⁵¹；(－0.3)⁵  。

【解】

(－3)²：读做“负三的二次幂”或“负三的平方”，底数是－3，指数是 2；

(＋2)⁴：读做“正二的四次幂”，底数是＋2，指数是 4；

：读做“三分之二的三次幂”，或“三分之二的立方”，底数是 2/3 指数是 3；

(－1)⁵¹：读做“负一的五十一次幂”，底数是－1，指数是 51；

(－0.3)⁵：读做“负十分之三的五次幂”，底数是－0.3，指数是 5  。

例3.计算：

【解】

例4.计算：(1)2³；(2)3²；(3)2×3；并说明它们的区别。

【解】(1)2³＝8；(2)3²＝9；(3)2×3＝6  。2³ 是 2 的立方，就是 2×2×2；3² 是 3 的平方，就是3×3；2×3 是两个不同的因数 2 与 3 的积，这三个式子是不相同的。

例5.说明下面两个式子的区别并分别计算出结果来：(－3)³；－3²  。

【解】

(－3)² 等于 (－3)×(－3)，读做“负三的平方”，(－3)²＝(－3)×(－3)＝＋9；

－3² 等于－(3×3)，读做“负的三平方”，－3²＝－(3×3)＝－9  。

习题1-18

1、把下列各个式子读出来，说明它的底数和指数，用乘法式子来表示它，并算出结果：

2、计算：

3、计算：

4.计算：

(1) (0.1)²；(2) (－0.1)²；(3) (－0.1)³；(4) (0.02)⁴；

(5) (－0.3)³；(6) (－0.7)²；(7) (0.03)³；(8) (－1.2)³  。

5.计算：(1) (－1)¹ºº；(2) (－1)¹²⁷；(3) (－1)¹º¹⁶；(4) (－1)³º³³  。

6.计算：