本文主要内容见如下导图:

前言:相信每个高中生、初中生在数学习题上都遇到到过两个根式相加、相减求最大值、最小值的题目。这类题目让很多没学导数的同学感到非常困难，下面以一道经典例题带同学们学习求双根式值域的8种方法。

例题如下（不妨自己做下）:

高一、高二大多数同学想的是:要是能把根号去掉就好了！那么又有多少同学认真钻研过根式的处理技巧呢？

首先是法一（构造向量法）:作出草图，利用向量投影，标出动态位置，求出最值。

紧接着是法二（三角换元）:利用cos，sin进行换元，注意倾斜角取值范围，最后利用辅助角公式统一函数名，再利用三角有界性即可得到答案。

法三（构造对偶式）:利用对偶式，配合函数单调性，轻松求出值域。很好用，好好看，好好学！

法四（数形结合）华罗庚曾说:“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。”可见数形结合的重要性。构造椭圆方程和直线方程，联立，求出相切情况的y值，很妙的方法！

法五（柯西不等式）:先补充柯西不等式内容:

下面是这道题的解答:不需要过多思考，套公式直接出结果，一步到位，很绝！

法六（导数）:学过的同学应该都会，求导别求错就OK。虽然不够简洁，但是一种通法，也是求值域的终极大招！

法七（方差非负性）:很难想象。概率统计里面的方差还能用来求值域！别不信，看图！值得我们借鉴！

法八（分布列）:对，你没听错。就是用概率统计里的分布列，需要构造随机变量X的分布列才能求值域。难在要做一些准备工作，不然就是白忙活！

至此，双根式求值域的8种方法已经教给你了（更多方法有兴趣的可以自学）。今后遇到这类题，各位应该会少一分彷徨，多一份从容！

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感谢您的阅读，如有错误的地方，敬请不吝赐教！