MIMO 信道容量的计算（一）

这篇文章，我们想分析一下 MIMO 信道的信道容量，有个前提：是基于非频率选择性衰落信道来分析的，即频率平稳衰落的信道。

(录制的视频：https://www.bilibili.com/video/BV1K24y1S77P/）

信道的容量，就是分析互信息的最大值，用数学公式表示为：

其中 f(S) 是向量 S 的 联合概率分布函数。上面的公式的含义，就是在所有可能的概率分布 f(S) 中，找到使得互信息最大的那种概率分布。

下面来推导一下互信息 I(S;Y) :

先来分析公式 (3) 的后半部分 H(Y|S)
(注： S 是离散的， Y 是连续的）

利用公式 (1) 有

则公式 (4) 继续推导为：

因为噪声 w 的概率分布，与 s 的取值无关，所以，公式 (6) 后面的积分就与 s 的取值无关，则求和与求积分就可以独立开来：

把公式 (7) 代入公式 (3) ：

现在就相当于找 H(Y) 的最大值。

这里给出两个不加证明（还不知道咋证明 ^_^）的定理：

定理 1： 当给定 Y 的自相关矩阵 ，那么 当 Y 满足 Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布时，Y的 differential entroy( 即连续熵) H(Y) 取最大值。

推论：根据公式 (1)， Y 是 Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布， 则 S 也需要是 Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布。

定理 2：
（1）当 Y 是Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布时：

（2）当 W 是Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布时，因为各个分量的白噪声之间相互独立，则：

把 (9) (10) 代入公式 (8) ：

注意： 本文中的 || 都是表示取方阵的行列式.

推导一下 ：

把公式 (12) 代入公式 (11):

从公式 (13) 可以看出，这个互信息的最大取值位置，只与  有关。
这篇文章里面都假定 H 不是随机变量，对于接收方 H 是已知的，是确定的。
把公式(13) 代入公式（2）

在实际应用中 f(S)  这个分布，其实是要满足一个总能量一定的约束条件，我们假定能量都归一化了。总能量是  的迹：

那么公式 (14) 就变成

参考书：
Introduction to Space-Time Wireless Communications， Arogyaswami Paulraj，Cambridge University Press 2003