构造速度矢量解决解析几何问题（光学性质证明，极值问题）

本想写我在学解析几何时发现的一种证明圆锥曲线光学性质的方法，结果今天早上起来一看咕咕的新视频

想法和我如出一辙：

1. 先画出以椭圆为轨迹运动物体的速度矢量

2. 根据椭圆两线之和为定值的定义，使该矢量在两条线上的分速度大小相等，一个指向焦点，另一个背离焦点

3. 物体运动方向就是轨迹的切线

根据1.2两条条件构造出的速度矢量的方向不得不使∠1=∠2，继而推出∠2=∠3

结合条件3，我们自然而然的得到椭圆的光学性质

详细一点的解释以及升华咕咕已经做的完美了，我就不多讲了（被打）

同理可以得到抛物线和双曲线的几何性质

在之后的学习中我还发现这种方法还可以运用到部分极值问题中

例：求的最小值

原式

大部分同学在这里想的是考虑构造圆去解决问题，

但作为一名新时代高中生自然要用骚一点的做法：

上述表达式的值就被转化为图中的值

如果我们将先增大到一个足够大的值使两点均在x轴上方，并且同时给两点一个竖直向下的速度（）将会有如下几个过程：

：与同时减小，说明此时还不是最小

（？是一个未知数，我们暂时还不知道）：仍然减小，但是已经开始增大（此时点在x轴下方但点在x轴上方）但是速度在上的分速度大小，大于在上的分速度大小，（此时速度在上的分速度越大那么减小得越快，在上的分速度越大那么增大得越快）也就是这一瞬间的值还在减小，说明此时还不是最小

：此时仍然减小，也在增大，但是速度在上的分速度大小，等于在上的分速度大小，也就是这一瞬间的值不变（或者说达到了一个平衡，即的减小和的增大的平衡）

：仍然减小，也仍旧在增大，但此时但是速度在上的分速度大小，小于在上的分速度大小，总的来说就是已经开始增大

：两点均在x轴下方，和两者同时增大

根据上述分析我们可以得出的值随y值变化的曲线差不多是这样：

由于两点速度相同，且在和上分速度大小相等

在两个速度和分速度构成的三角形中有两边对应相等：速度相等，分速度相等，又有一个直角，所以两个三角形全等，故

所以

所以有

（因为点在x轴下，所以纵坐标是负的，要加上一个负号来修正）

解得，带入原式即可得到最小值为

上述分析看起来繁多，但实际上很多都是显而易见的东西（可能是我太啰嗦了【doge】），特别是分析过程那一步真正在做题时我几乎是没动什么脑子，真正写在草稿上的可能就只有几张图和：

再来看一题看似很难的“压轴题”：

设是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点 在所在平面内，记 与  的面积分别为 ， ，且 。当  且时， ;记 ，则实数 的取值范围为。

第一空：（）解析略

第二空：在第一空中若以D为原点，AB方向为x轴方向，DC方向为y轴方向，我们可以知道P的轨迹即为,当然啦，关于CD对称的也成立，但是讨论都一样，所以只需要讨论其中一条轨迹即可

让P从最下端出发，往上“动起来”，我们可以很清晰地观察发现，P在上移过程中，P点速度在BP直线上的分速度始终大于在AP直线上的分速度，所以P点上移过程中，PB长度的增加速度始终大于AP长度的增加速度，又注意到BP长度始终小于AP长度，所以点P跑到无穷远处时，  取最小值，换句话说：BP长度一开始小于AP长度，且PB始终在追赶AP，两者的差距随P点上移而减小，但即使这样PB长度仍小于PA

求得，同时a的最大值即为P点在x轴上时取得，综上得，原本看似复杂的问题，也经不住拷打，被解决了。

如有错误，还请各位大佬讨论指出