【数学基础38】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
混合积：向量a与b的外积，再与向量c作内积，结果是一个数量，称为三向量依顺序a，b，c的混合积，记为（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合积性质：
a.当a，b，c组成右手系时，（a，b，c）>0；
b.当a，b，c组成左手系时，（a，b，c）<0；
几何意义：（a，b，c）是以a，b，c为邻边的平行六面体的体积；
性质：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是实数）；
三向量a，b，c共面的充要条件是（a，b，c）=0。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
求数列极限：I=lim[（n+1）^α-n^α]（0<α<1）.
解：
0
<=I=lim[（n+1）^α-n^α]
=lim n^α[（1+1/n）^α-1]
<=lim n^α[（1+1/n）-1]
=lim 1/n^（1-α）
=0
由夹逼准则：I=0.
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——
设向径OA=r1，OB=r2，OC=r3，证明R=（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）垂直于ABC平面.
解：证明向量垂直于平面内两个不共线向量即可——
AB=OB-OA=r2-r1，AC=OC-OA=r3-r1；
R AB
=[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]（r2-r1）
=[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r2-[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r1
=（r1，r2，r2）+（r2，r3，r2）+（r3，r1，r2）-（r1，r2，r1）-（r2，r3，r1）-（r3，r1，r1）
=（r3，r1，r2）-（r2，r3，r1）
=0，则R垂直于AB，
R AC
=[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]（r3-r1）
=[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r3-[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r1
=（r1，r2，r3）+（r2，r3，r3）+（r3，r1，r3）-（r1，r2，r1）-（r2，r3，r1）-（r3，r1，r1）
=（r1，r2，r3）-（r2，r3，r1）
=0，则R垂直于AC，
所以R垂直于ABC平面.
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：如果A是幂零矩阵，它的幂零指数为k，那么I-A可逆；并且求（I-A）^（-1）。
证：
A是幂零矩阵，它的幂零指数为k，即A^k=0；
I
=I-0
=I-A^k
=（I-A）[I+A+A^2+……+A^（k-1）]，则I-A可逆，
（I-A）^（-1）=I+A+A^2+……+A^（k-1）.
到这里！
