【无痛高数】揭秘极限！为什么两次数学危机都和无穷有关？

关于毕达哥拉斯的那几条断言，我尝试找了找它们的来源：

1.亚里士多德《形而上学》985b31

Among these thinkers and before them, the so-called Pythagoreans were the first to latch on to mathematics. They both advanced these inquiries and, having been brought up in mathematics, thought that its starting-points were the starting-points of all beings. Since among these starting-points the numbers are by nature primary, and since they seemed to get a theoretical grasp on many similarities to beings in the numbers, and to things that come to be, more so than in fire, earth, or water (for example, that such-and-such an attribute of numbers is justice, that such-and-such an attribute is soul and understanding, whereas another one is appropriate time, and—one might also say—each of the rest likewise), and, further, seeing in harmonies attributes and ratios that are found in numbers—since, then, the other things seemed to have been made like numbers in the whole of their nature, and numbers were primary in the whole of nature, they took the elements of numbers to be the elements of all beings, and the whole heaven to be harmony and number.（C.D.C. Reeve译, Hackett, 2016）

划线句子的原文是：τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι

让我们来看这个句子：

(1)τὰ是ὁ的主格/宾格、复数、中性形式。ὁ可以作冠词the，也可以作代词that、第三人称代词（he, she, it, they）、关系代词who, which, that

(2)τῶν是ὁ属格、复数形态

(3)ἀριθμῶν是名词 ἀριθμός的复数形式。这里的意思是“数学中的抽象数”，例如“ἀριθμὸς μαθηματικός”（指数学中的数），“ἀριθμὸς οὐσιώδης”（指本质上的数，与数量上的数相对），以及“ἀριθμὸς ἑνιαῖος”等

(4)"στοιχεῖα" 是 "στοιχείο" 的复数形式。在古代哲学和科学中，“στοιχεῖα”指代基本元素或基本成分，通常是指构成自然界的基本元素，例如四大元素：火、水、土、气（空气）。

(5)ὄντων是ὤν的阳性/中性、属格、复数形式。ὤν是εἰμί的现在分词。εἰμί就是大名鼎鼎的“是”或“存在”（见海德格尔）。

（6）πάντων是πᾶς的属格、复数、阳性、阴性形式。"πᾶς" 用于表示"全部的"、"所有的"、"每一个"等含义。例如πᾶς ἀνήρ：每一个男人。οὐ πᾶς：没有任何人，即"无一例外"。πάντων τῶν θεῶν：所有的神。

（7）"ὑπέλαβον" 是动词 "ὑπολαμβάνω"的过去时第二人称复数形式。由前缀 "ὑπο-" 和动词 "λαμβάνω"组成，λαμβάνω主要涉及“拿取”、“抓住”、“接受”、“获得”等概念。

(8)εἶναι是εἰμί的现在不定式（present infinitive）

基于此我们看：τὰ(the) τῶν(of) ἀριθμῶν(numbers) στοιχεῖα(elements) = the elements of numbers

在古希腊语中，形容词、代词和冠词与其修饰的名词之间的关系通常由它们的格形式（例如 nominative, genitive, dative, accusative 等）来指定，而不仅仅是它们在句子中的位置。在下文中，“τῶν”和“ὄντων”都处于属格（genitive case），它们组合在一起描述了“στοιχεῖα”。而“πάντων”也是属格形式，它进一步描述了“τῶν ὄντων”，强调了所有存在的事物。

τῶν(of) ὄντων(beings) στοιχεῖα(elements) πάντων(all) = the elements of all beings

最后是

ὑπέλαβον(took) εἶναι(to be)

因此这句话的意思是：took the elements of numbers to be the elements of all beings

中译本译为：他们认为数的要素即万物的要素 （吴寿彭译, 商务印书馆, 2017）

2.《亚里士多塞诺斯残篇》（ARISTOXENUS fragments）中的Life of Pythagoras（见Aristoxenus of Tarentum, Aristoxenus Complete Works, Delphi Classics, 2021），以下是正文：

Stobaeus Ecl. I Prooem. 6: ἐκ τῶν Ἀριστοξένου περὶ ἀριθμητικῆς. τὴν δὲ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς πραγματείαν μάλιστα πάντων τιμῆσαι δοκεῖ Πυθαγόρας καὶ προαγαγεῖν εἰς τὸ πρόσθεν, ἀπαγαγὼν ἀπὸ τῆς τῶν ἐμπόρων χρείας, πάντα τὰ πράγματα ἀπεικάζων τοῖς ἀριθμοῖς. τά τε γὰρ ἄλλα ἀριθμὸς ἔχει καὶ λόγος ἐστὶ πάντων τῶν ἀριθμῶν πρὸς ἀλλήλους …. Αἰγύπτιοι δὲ Ἑρμοῦ φασὶν εὕρημα, ὃν καλοῦσι Θώθ. οἳ δὲ ἐκ τῶν θείων περιφορῶν ἐπινοηθῆναι. μονὰς μὲν οὖν ἐστιν ἀρχὴ ἀριθμοῦ, ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ τῶν μονάδων πλῆθος συγκείμενον. τῶν δὲ ἀριθμῶν ἄρτιοι μέν εἰσιν οἱ εἰς ἴσα διαιρούμενοι, περισσοὶ δὲ οἱ εἰς ἄνισα καὶ μέσον ἔχοντες. οὕτως ἐν περισσαῖς ἡμέραις αἱ κρίσεις τῶν νοσημάτων γίνεσθαι δοκοῦσιν καὶ αἱ μεταβολαί, ὅτι ὁ περισσὸς καὶ ἀρχὴν καὶ τελευτὴν καὶ μέσον ἔχει, ἀρχῆς καὶ ἀκμῆς καὶ παρακμῆς ἐχόμεναι.

《斯多巴乌斯 节录 I 序章 6》：摘自阿里斯多克苏斯关于算术的文章。众所周知，毕达哥拉斯最为重视并发扬了关于数字的研究，他从商人的需求中把这种研究提炼出来，并用数字来比喻所有事物。因为所有的事物都与数字有关，所有数字之间都有一个比例…… 埃及人称赫尔墨斯的这一发现为图特。而有人说，它是从神圣的运行中创造出来的。单数是数字的起点，而数字是由单数组成的总数。在数字中，能被平均分的是偶数，而不能被平均分并且有中间的是奇数。因此，疾病的判断和变化似乎发生在奇数的日子，因为奇数有起点、终点和中间，这是开始、高峰和衰退的过程。(GPT4译)

τά τε γὰρ ἄλλα ἀριθμὸς ἔχει（所有的事物都与数字有关）

καὶ λόγος(logos, ratio) ἐστὶ πάντων τῶν ἀριθμῶν πρὸς ἀλλήλους（所有数字之间都有一个比例）

λόγος(logos)(这个词就是逻各斯)其用法和含义相当丰富和多样：

1.首先它可以表示“计算”、“账目”、“公共账目”等与金钱有关的意思，也可以表示“估算”、“考虑”、“评估”等与价值、重要性相关的意思。2.关系、对应、比例，数学、音乐中的比例和比率，以及语法中的类比和规则。3.解释、理由、论点、规律和理性。4.指人的内心辩论或思考，也是推理和思考的过程。它可以表示理性的思维能力，也可以指创造性的理性。在逻辑学中，它代表了辩论推理的过程，与直觉相对立。在某些哲学体系中，λόγος指宇宙中普遍存在的理性。5.连续陈述、叙述、演说、寓言、传说、故事情节以及在法庭、议会等场合的讲话。6.口头表达或言辞，通常指短语或一系列的话语，可以用于对话、辩论、议论，也指传闻、传统或文学作品，有时与行为、事实对比，还可以表示称誉或坏名声。7.指代“言论、话语、预言、谚语”等各种形式的话语，以及相关的内容、主题和情节。8.指各种表达方式、语言的使用和交流。9.上帝的话语、智慧和基督化身。

因此这话为：καὶ(and) λόγος(raio) ἐστὶ(is) πάντων(all) τῶν ἀριθμῶν(numbers) πρὸς(to) ἀλλήλους(each other)