【数学竞赛-几何】四边形的余弦定理

2022-04-30 13:06 作者:Rotas-math_lover 0人读过 | 我要投稿

一.什么是四边形的余弦定理

如图，记四边形 $ABCD$ 的边 $AB%3Da%E3%80%81BC%3Db%E3%80%81CD%3Dc%E3%80%81DA%3Dd$ ，记对角线 $AC%3De%E3%80%81BD%3Df$ ，则有 $e%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2-2abcd%C2%B7cos(A%2BC)%5C%5C%0Ae%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2-2abcd%C2%B7cos(B%2BD)$

（这两个式子等价）

二.四边形余弦定理的证明

这个等式的形式看起来很像余弦定理，但我们只要稍微变下形，它就更像了，如下 $e%5E2%3D(%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D)%5E2-2%C2%B7%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D%C2%B7%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D%C2%B7cos(B%2BD)%5C%5C$

这告诉我们，要构造一个角度为 $A%2BC$ 的角，并且其两边分别为 $%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D%E3%80%81%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D$ ，这样就可以用余弦定理直接证得

因此，我们以 $DA%E3%80%81DC$ 为边向外作 $%5Ctriangle%20DCE%E3%80%81%5Ctriangle%20DAF$ 使得 $%5Ctriangle%20DCE%5Csim%20%5Ctriangle%20BDA$ $%5Ctriangle%20DAF%5Csim%5Ctriangle%20BDC$

因此，在 $%5Ctriangle%20EDF$ 中用余弦定理可得

$EF%20%5E2%3D(%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D)%5E2-2%C2%B7%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D%C2%B7%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D%C2%B7cos(B%2BD)%5C%5C$

从而，只要证到 $EF%3De$ ，这只需要证四边形 $AFEC$ 为平行四边形

观察图形，计算可得 $AF%3DCE%3D%5Cfrac%7Bcd%7D%7Bf%7D$ ，因此，只需要证 $AF%2F%2FCE$

这只需要证 $%5Cangle%20FAC%2B%5Cangle%20ECA%3D180%C2%B0$ ，根据相似，这个等式显然

故得证

三.四边形余弦定理的推广

若 $%5Cangle%20A%2B%5Cangle%20C%3D%5Cangle%20B%2B%5Cangle%20D%3D180%C2%B0$ ，则四边形 $ABCD$ 共圆，

此时四边形的余弦定理就变成了托勒密定理，如下

$e%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2-2abcd%C2%B7cos(A%2BC)%0A%5C%5C%5CRightarrow%20e%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2%2B2abcd%0A%5C%5C%5CRightarrow%20(ef)%5E2%3D(ac%2Bbd)%5E2%0A%5C%5C%5CRightarrow%20ef%3Dac%2Bbd$

标签：托勒密定理相似三角形余弦定理平面几何数学竞赛诱导公式

【数学竞赛-几何】四边形的余弦定理

一.什么是四边形的余弦定理

二.四边形余弦定理的证明

三.四边形余弦定理的推广