陶哲轩实分析笔记(3.3)

今天状态不好。

函数定义

 映射，变换，态射

 函数的成立取决于定义域(还有值域)

 显示定义和隐式定义

 函数遵循替换公理

 常数函数:不同输入对应同一输出

 括号的用法

 函数图

函数的相等

 相等取决于定义域和值域。有时候表达式不等的两个函数也可以相等。

 空函数

 t3.3.1证明函数相等是合理的

 t3.3.3空函数的性质

函数复合

 复合没有交换律

 但是有结合律

 复合函数的写法

 t3.3.2复合对于单射和满射的传递性

 t3.3.7复合对双射的传递性，和逆

 t3.3.4复合函数消去律

 t3.3.5复合函数的性质

单射，满射，双射

 啥玩意都和定义域，值域有关

 双射的特殊记法

 一个易错点

 函数的逆

 t3.3.6逆函数的消去律

比起“怎么解出这道题”，更重要或者说更确切的问法是:“这道题想问什么?”或者“我们在哪里的讨论还不够清楚?”

3.3.6

认真研究本题就会发现，所谓单射和满射，竟然和一个函数的成立是息息相关的！也就是反函数嘛。。正着看倒是没什么，但是反过来，我们为什么要把函数定义的那么奇怪，为什么恰恰就是一个y对应在x上……

3.3.7

这是一个比较华丽的证明。

3.3.8

包含映射和恒等映射

(a)(b)(c)不难的，照着做就行了。

(d)的话稍微麻烦一点，但没有关系，看懂问什么就会做。

提示:包含映射的结果还是x，它的作用是把定义域值域改一改。。不相交的用处是防止h(x)有两个取值。