第一章 函数与极限 总结

• 第一节 映射与函数

一，映射

概念

定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作

                f :X→Y

其中y称为元素x（在映射下）的像，记作f(x)，即y=f(x),而x被相应的被称作原像，每个原像的像唯一，而每个像的原像不唯一，Df=X，而Rf包含于Y

单射

x不等则y不等

满射

Y=Rf

一一映射（双射）

既是单射又是满射。

ps：映射又被称为算子。

逆映射

注意：只有单射才有逆映射（ps：三角函数等周期函数一般取其主值区间，对处于该区间的部分求逆映射。）

复合映射

注意前后位置，位置不同，意义不同。如f•g（x）=f［g（x）］

二，函数  数集间的对应关系

函数要素：定义域和对应法则

特性

a. 有界性

（充要条件为既有上界又有下界）

b. 单调性

（严格为<或 >，不含等号）

c. 奇偶性

d. 周期性

（非所有周期函数有最小正周期，如狄利克雷函数）

反函数与复合函数

函数运算（和差积商）

初等函数

双曲函数

shx=(e^x -e^-x)/2

chx=(e^x+e^-x)/2

(图形为悬链线，受力全在切线方向）

thx=shx/chx

• 第二节 数列极限  （趋向正无穷）

无论e多么小，数列从某项An以后的项都在a的某一邻域U(a,e)中，在该邻域外只有有限项。

性质

a. 极限的唯一性

b. 收敛数列的有界性

c. 收敛数列的保号性

d. 收敛数列的任一子数列必收敛且与母列一致

• 第三节 函数的极限

（与某一确定数的距离不超过e）

性质

a. 唯一性

b. 局部有界性

c. 局部保号性

d. 推论：趋向于X0时|f(x)|>A/2,x属于X0的某一去心邻域

e. 海涅定理（归结原则）

• 第四节 无穷大与无穷小

• 第五节 极限运算法则

ps：有限个无穷小的乘积为无穷小

• 第六节 极限存在准则 两个重要极限

1. 夹逼准则

2. 单调有界数列必有极限

3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理）

数列［xn］收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数e，存在正整数N，使得当 m>N,n>N时，有

|xn-xm|<e

• 第七节 无穷小的比较

（注意，并非所有无穷小都可以比）

• 第八节 函数的连续性与间断点

左右极限都存在为第一间断点，否则为第二间断点

• 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

• 第十节 闭区间上连续函数的性质

1. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值与最小值。

2. 零点定理

3. 介值定理 

若函数在闭区间上连续且两端点值不一则必有某数位于其间。

          f（j）=h

4. 一致连续性