信号的频域相加等于信号的时域相加

是的，很容易数学证明。

左边是信号和 的频谱，右边是信号频谱 的和，用到乘法分配率和和简单积分性质。

也可以从希尔伯特空间中的向量来理解：

一个信号不管是时域还是频域来描述，都是一个向量在希尔伯特空间中不同基矢下的描述而已。

所以对于两个向量求和的结果向量，在一个坐标系下是这两个向量的和，在另一个坐标系下，也会是如此，不会因为坐标系的改变而改变。

所以很显然这个结论可以推广，将来遇到小波变换 或者其他变换都可以直接拿来用。

从线性空间的角度来理解，很多关于信号的知识都会很容易理解。

比如，内积显然也是一个不随坐标表象变化的量，所以帕瑟瓦尔定理显而易见。

内积的含义在这里也就很好理解：其实就是两个信号包含多少对方的分量。内积为0，就是信号正交，这种时候它们也可以作为一组正交基矢来表示其他分量。

当然在希尔伯特空间中，你需要的基矢数量是无穷的。如果这一组基矢很有规律，很容易生成，那没准也会是一组很有用的基矢量。

比如在保存数字信号时，就经常使用不同频率的方波作为基矢，在数字领域，显然方波更便于处理和生成，这在图片和视频的保存压缩时就有所应用。

说远一点，有了这些基矢量，自然而然就会开始研究对这些基矢的线性变换。

到了量子力学领域，这种思想更是被应用到了极致。

在科学领域的方方面面，深入学习的过程中，几乎都会看到这种数学思想的应用，你可以用它来求震动，求配比，解决各种问题，只需要看看你要处理的问题是否满足线性叠加原理，然后想办法定义一个内积，就会瞬间跳出来一大堆现成的结论可以让你拿来用，拿来算。

而各种互相影响的过程很多就会简单的变成了一个线性变换。即便不是线性问题，那也没关系，只要是可微的，至少在局部可以看成一个线性问题来处理。

这也是当今技术领域，线性代数如此重要的原因。