【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第十五章振动和波

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】 

§15-5单摆的振动定律

【01】把一个长约为1米的单摆悬挂起来，改变它的偏角、长度或摆球的质量来做各种实验，发现单摆的振动服从下列四条规律：

1、摆的振动周期与振幅的关系

【02】使单摆的长度固定，例如100厘米，让它在一个不大的偏角下离开平衡位置，然后放开手，任它振动。用表测出振动一定次数（例如50次）所经历的时间，并计算出每振动1次所需要的时间（即周期）。再使摆在较小的偏角下重新振动，测出它振动同样次数所经历的时间，同时也计算出周期来。这样，用不同的偏角（即不同的振幅）振动，实验结果表明，只要保持小的偏角（即小的振幅），无论怎样改变振幅，周期总是相同的。这就是说，在振幅小的时候，单摆的振动周期与振幅没有关系。摆的这种性质叫做摆的等时性。

2、摆的振动周期与摆球的质量的关系

【03】把三个大小相同但质量不同的摆球，例如钢球、铅球和木球分别拴在细线上，做成长100厘米的三个单摆。然后使它们都作振幅相同的振动，测出它们各振动一定次数（例如50次）所经历的时间，并且计算出它们的周期来。实验结果表明：单摆的振动周期与摆的质量没有关系。

3、摆的振动周期与摆长的关系

【04】使几个质量相同但摆长不同的单摆（例如100厘米、75厘米、50厘米）作偏角相同的振动。分别测出振动一定次数所经历的时间，并且计算出它们的周期来。然后把各个摆的周期的比（即T₁:T₂:T₃…）与对应的各个摆长的平方根的比（即…）作一比较，就可以看出：单摆的振动周期与摆长的平方根成正比，即  。

4、摆的振动周期与重力加速度的关系

【05】由精密的量度和理论上的推导，知道单摆的振动周期与重力加速度的平方根成反比，即   。

【06】荷兰学者惠更斯研究了单摆的振动现象，得到单摆的振动周期公式为：   。式中 T 是单摆的周期，l 是摆长，g 是重力加速度。

【07】在这个公式中，周期 T 和摆长 l 都可以用实验方法很准确地测量出来，因此，利用单摆可以测量不同地点的重力加速度。

例2.设每一昼夜慢6分钟的时钟（可以作为单摆处理)，其摆长为99.1厘米。问要使时钟走得准确，其摆长应缩短多少？

【解】

(1)设时钟走得准确时，一昼夜内共走的分数＝t，共振动 n 次；现在这只时钟一昼夜内共走的分数＝t'，共振动 n' 次。则由于振动次数与分数成正比，所以 t':t＝n':n  。

(2)在相同时间内，振动次数又与其周期成反比，即 n':n＝T:T'，T 是时钟走得准确时的周期，T' 是现在时钟的周期。把上面两式结合起来，得 t':t＝T:T'  。

(3)根据单摆的周期公式知 ，l 是时钟走得准确时的摆长，l' 是现在时钟的摆长。把(2)中的比例式代入，得  即。

(4)现在 t＝24×60＝1440分，t'＝1440－6＝1434分，l'＝99.1厘米。把这些数字代入上式，即得。所以应该把摆长缩短 99.1－98.4＝0.7厘米。

例3.有一个单摆长1厘米，摆球质量是 m 克，摆动时的最大偏角是α，求这个摆所具有的机械能。又摆在通过什么位置时它的动能和势能相等？设摆在平衡位置时的势能等于零。

【解】

(1)如图15·7所示，机械能等于在最大偏角 α 时的势能，因为这时动能等于零，所以

        势能＝mgh＝mg(l－lcosα)。

(2)设在偏角为 α' 时，摆的动能和势能相等，也就是这时的势能等于偏角最大时的势能的一半，所以 mg(l－lcosα')＝1/2 mg(l－lcosα)，

        即【从三角学中知道：】，就是当摆振动到它的偏角 α' 与最大偏角 α 具有上述关系的位置上时，摆的动能和势能相等。

习题15-5

1、上海的重力加速度是979.4厘米/秒²。问秒摆的长应为多少厘米？【约99.23厘米】

2、一昼夜快1分钟的单摆，摆长应该增加到原来的几倍，才能走得准确？【约1.0014倍】

3、秒摆的摆长是1米，当摆长改变为0.81米时，振动周期是多少？要使振动周期为4秒，摆长应该是多少？【1.8秒，4米】

4、一个单摆，原来的周期等于2秒。问在下列情况下，周期有何变化？(1)摆长缩短为原来的1/4；(2)摆的质量减少为原来的1/4；(3)振幅减少为原来的1/4。【(1)1秒，(2)不变，(3)不变】

5、拴在线上的金属球在竖直平面里摆动，当它通过平衡位置时速度是140厘米/秒，求它能上升的高度。【10厘米】