欢迎光临散文网 会员登陆 & 注册

MIMO 信道容量的计算(三)--发送方知信道矩阵

2022-12-26 13:57 作者:乐吧的数学  | 我要投稿

若发送方知道信道矩阵 H

视频:https://www.bilibili.com/video/BV11g411b7W5/

则可以有更优的策略来分配能量。可以使用注水算法,达到信道容量最大化。

首先,我们需要对信道传输模型做一点小的修改,以便充分利用信道矩阵 H 的信息。我们需要对公式 (1) 做一点小的修改。

我们在发送方就已知信道矩阵 H,则可以通过对 H 做 SVD 分解:

H%20%3D%20U%20%5CSigma%20V%5EH


我们把发送的信号记为 %5Chat%20S ,是一个列向量,我们用 矩阵 V 做一个变换:

S%20%3D%20V%20%5Chat%20S


把 S 通过公式 (1) 表示的信道发送出去,则接收方接收到的数据为

%5Cbegin%7Baligned%7D%20Y%20%26%3D%20%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20HS%20%2B%20W%20%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20U%5CSigma%20V%5EH%20%20V%5Chat%20S%20%2B%20W%20%20%5C%5C%20%26%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20U%5CSigma%20%5Chat%20S%20%2B%20W%20%5Cend%7Baligned%7D


那么,在接收方,用矩阵 U 对接受的数据做一个变换:

%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Chat%20Y%20%26%3D%20U%5EH%20Y%20%5C%5C%20%20%26%3D%20U%5EH%20(%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20U%5CSigma%20%5Chat%20S%20%2B%20W%20)%20%5C%5C%20%20%26%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20U%5EH%20U%5CSigma%20%5Chat%20S%20%2B%20U%5EH%20W%20%5C%5C%20%20%26%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5CSigma%20%5Chat%20S%20%2B%20%5Chat%20W%20%5Cend%7Baligned%7D%20%5Cquad%20-------%5Cquad%20(19)


其中

%5CSigma%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Csqrt%20%7B%5Clambda_1%7D%20%26%200%20%26%20...%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20%5Csqrt%20%7B%5Clambda_2%7D%20%26%20...%20%26%200%20%5C%5C%20%26%20...%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20...%5Csqrt%7B%20%5Clambda_r%7D..%20%26%200%20%5C%5C%20%26%20%26%20...%20%5C%5C%200%260%26...%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D


那么从 %5Chat%20S 到 %5Chat%20Y 这样的通信信道,从相互耦合的 MIMO 信道,就变成相互独立的 r 个信道:

%5Chat%20y_1%20%3D%20%E3%80%81%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5Csqrt%7B%5Clambda_1%7D%20%5Chat%20s_1%20%2B%20%5Chat%20w_1%5C%5C%20....%20%20%5C%5C%20%5Chat%20y_r%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5Csqrt%7B%5Clambda_r%7D%20%5Chat%20s_r%20%2B%20%5Chat%20w_r%5C%5C


如果 %5Chat%20s_i%20的发射功率为 %5Cgamma_i , 那么第 i 个信道的信号功率为:

%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%20%5Clambda_i%20%5Cgamma_i


若噪声功率为 N_0,那么这个信道的信噪比为:

%0A%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%20%5Clambda_i%20%5Cgamma_i%7D%7BN_0%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5Clambda_i%20%5Cgamma_i%0A


则第 i 个信道的信道容量就为:

C_i%20%3D%20log_2(1%20%2B%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5Clambda_i%20%5Cgamma_i%20)%20%20%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%5Ctext%7Bbps%2FHz%7D


则总的信道容量为:

C%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Er%20log_2(1%20%2B%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5Clambda_i%20%5Cgamma_i%20)%20%20%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%5Ctext%7Bbps%2FHz%7D


至此,问题就变成如何分配总的信号能量 N_T ,让上面的总信道容量最大:

C_%7Bmax%7D%20%3D%20%5Cunderset%7B%5Cgamma_1%2B...%2B%5Cgamma_r%20%3D%20N_T%7D%7B%20max%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Er%20log_2(1%20%2B%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5Clambda_i%20%5Cgamma_i%20)%20%20%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%5Ctext%7Bbps%2FHz%7D


这是一个最优化求解的问题,至此,可以用注水算法来分配能量,从而达到上面的最优解。


====================

我们也可以从公式 (19) 开始,利用公式 (11) 的结论来推导。我们需要分析 %5Chat%20Y%20的自相关矩阵:

推导一下 R_%7B%5Chat%20Y%20%5Chat%20Y%7D%20

%5Cbegin%7Baligned%7D%0AR_%7B%5Chat%20Y%20%5Chat%20Y%7D%20%0A%26%3D%20E%5B(%5Chat%20Y-E%5Chat%20Y)(%5Chat%20Y-E%5Chat%20Y)%5EH%5D%20%20%5C%5C%0A%26%3DE(%5Chat%20Y%20%5Chat%20Y%5EH)%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20E%5B(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5CSigma%20%5Chat%20S%20%2B%20%5Chat%20W)%20(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5CSigma%20%5Chat%20S%20%2B%20%5Chat%20W)%5EH%5D%20%5C%5C%0A%26%3D%20E%5B(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5CSigma%20%5Chat%20S%20%2B%20%5Chat%20W)%20(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%20%5Chat%20S%5EH%20%5CSigma%5EH%20%2B%20%5Chat%20W%5EH)%5D%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20E%5B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%20%5CSigma%20%5Chat%20S%20%5Chat%20S%5EH%20%5CSigma%5EH%20%2B%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5CSigma%20%5Chat%20S%20%5Chat%20W%5EH%20%2B%20%5Chat%20W%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%7D%20%5Chat%20S%5EH%20%5CSigma%5EH%20%2B%20%5Chat%20W%20%5Chat%20W%5EH%5D%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20E(%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%5CSigma%20%5Chat%20S%20%5Chat%20S%5EH%20%5CSigma%5EH)%20%2B%20E(%20%5Chat%20W%20%5Chat%20W%5EH)%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%20%5CSigma%20E(%5Chat%20S%5Chat%20S%5EH)%20%5CSigma%5EH%20%2B%20N_0%20I_%7BN_R%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%20%5CSigma%20R_%7B%5Chat%20S%5Chat%20S%7D%20%5CSigma%5EH%20%2B%20N_0%20I_%7BN_R%7D%20%5Cquad%20------%20%5Cquad%20(20)%20%20%0A%5Cend%7Baligned%7D

把公式 (20) 代入公式 (11):

%5Cbegin%7Baligned%7D%20I(%5Chat%20S%3B%5Chat%20Y)%20%26%3D%20H(%5Chat%20Y)%20-%20H(%5Chat%20W)%20%20%5C%5C%20%26%3D%20log_2(%7C%5Cfrac%7BR_%7B%5Chat%20Y%20%5Chat%20Y%7D%7D%7BN_0%7D%7C)%20%20%5C%5C%20%26%20%3D%20log_2(%7C%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%7D%20%5CSigma%20R_%7B%5Chat%20S%20%5Chat%20S%7D%20%5CSigma%5EH%20%2B%20N_0%20I_%7BN_R%7D%20%7D%7BN_0%7D%7C)%20%20%5C%5C%20%26%3D%20%20log_2(%7C%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5CSigma%20R_%7B%5Chat%20S%20%5Chat%20S%7D%20%5CSigma%5EH%20%2B%20%20I_%7BN_R%7D%20%7C)%20%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Cquad%20------%20%5Cquad%20(21)


从公式 (21) 可以看出,这个互信息的最大取值位置,只与 R_%7B%5Chat%20S%20%5Chat%20S%7D 有关。这篇文章里面都假定 H 不是随机变量,对于接收方 H 是已知的,是确定的。把公式(21) 代入公式(2)

C%20%3D%20%5Cunderset%7Bf(S)%7D%7B%20max%7D%5B%20log_2(%7C%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5CSigma%20R_%7B%5Chat%20S%20%5Chat%20S%7D%20%5CSigma%5EH%20%2B%20%20I_%7BN_R%7D%20%7C)%20%20%20%5D%20%20%20%20%20%20%5Cquad%20------%20%5Cquad%20(22)


在实际应用中 f(S)  这个分布,其实是要满足一个总能量一定的约束条件,我们假定能量都归一化了。总能量是 R_%7BSS%7D 的迹:

Tr(R_%7B%5Chat%20S%20%5Chat%20S%7D)%20%3D%20N_T


那么公式 (14) 就变成

C%20%3D%20%5Cunderset%7BTr(R_%7BSS%7D)%20%3D%20N_T%7D%7B%20max%7D%20log_2(%7C%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5CSigma%20R_%7B%5Chat%20S%20%5Chat%20S%7D%20%5CSigma%5EH%20%2B%20%20I_%7BN_R%7D%20%7C)%20%20%20%20%20%20%5Cquad%20------%20%5Cquad%20(23)



我们可以假设 %5Chat%20S  各个分量之间相互独立,当然,是 0 均值的。则:

R_%7B%5Chat%20S%20%5Chat%20S%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%7B%5Cgamma_1%7D%20%26%200%20%26%20...%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20%5Cgamma_2%20%26%20...%20%26%200%20%5C%5C%20%26%20...%20%5C%5C%200%260%26...%26%5Cgamma_%7BN_T%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D


又:

%5CSigma%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Csqrt%20%7B%5Clambda_1%7D%20%26%200%20%26%20...%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20%5Csqrt%20%7B%5Clambda_2%7D%20%26%20...%20%26%200%20%5C%5C%20%26%20...%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20...%5Csqrt%7B%20%5Clambda_r%7D..%20%26%200%20%5C%5C%20%26%20%26%20...%20%5C%5C%200%260%26...%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D


代入 (23) 有:

C_%7Bmax%7D%20%3D%20%5Cunderset%7B%5Cgamma_1%2B...%2B%5Cgamma_r%20%3D%20N_T%7D%7B%20max%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Er%20log_2(1%20%2B%20%5Cfrac%7BE_s%7D%7BN_T%20N_0%7D%20%5Clambda_i%20%5Cgamma_i%20)%20%20%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%5Ctext%7Bbps%2FHz%7D%20%5Cquad%20-----%20%5Cquad%20(24)





参考书:Introduction to Space-Time Wireless Communications, Arogyaswami Paulraj,Cambridge University Press 2003


MIMO 信道容量的计算(三)--发送方知信道矩阵的评论 (共 条)

分享到微博请遵守国家法律