作为随笔性质的文章，本文会写的比较随意或者晦涩，本文主要讨论麻雀中的各种形状的极尽深入，对麻雀技术提升没有太大帮助。适用于任何麻雀。 作者：幾愿 

本文原为2022-1-4的清一色的一个结论专栏文章1，之后已经删除，现重新补上并归在麻雀形状随笔中。知乎同文。

定理13：14张同花色牌切出1张牌后,这副牌一定可进入1向听及以内.

准备工作：

(1)这个结论适用于承认七对子的立直麻将(日本麻将)、国标麻将以及其他手牌为13张，承认清一色，无特殊和牌限制条件的麻将。(台湾麻将等手牌为16张的麻将暂不考虑)

本结论将以立直麻将为例。立直麻将的重要规则：

①承认七对子(由7个对子组成的和牌形)番种。

重要条件。如果不允许七对子的番种，那么结论要更正为2向听以内。

立直麻将和牌时7个对子不可以重复(而国标七对的对子可以重复，但是均不影响结论)。

②承认空听(计作形式听牌)，不承认虚听。

空听：听牌时，所听的牌均在场上(手牌、牌河、宝牌指示牌、副露)。在这种状况下视作听牌，但是没有和牌的机会。

虚听：听牌时，所听的牌均在手牌中。是空听的一种特殊形式，也叫作纯空听。雀魂、天凤中，在这种状况下不被视作听牌，因为它一定可以解释为拥有4张牌，并且听那种牌的单骑的形式，如：

东东东东南南南西西西北北北，

听第5张不存在的“东”。

这种情况下并不是听牌，应该视作1向听。

同理，分析牌形向听时，不存在的进张面(以下称作“虚进张面”)也不应该考虑。

不承认虚听对结论的指导意义：我们研究的牌形只考虑手牌，且属于门前清，所以会存在虚听和虚进张面的问题。

不可以机械认为1111444477779p属于1向听，因为并无法摸到1p或4p进入听牌状态。因此这个牌形属于2向听。

也就是说，手牌13张牌均为同一色牌，可以是2向听。

(2)同一种花色的牌有：1~9的数牌各4张，共36张。这里选择饼子(p)为例。比如:1p指1饼(筒)。

(3)向听：手牌还差n张有效牌即可进入听牌状态，叫做该手牌处于n向听。

向听可分自摸状态和非自摸状态的向听。

以下使用[m]表示手牌拥有m张牌。

显然[13]属于非自摸状态的手牌，[14]属于自摸状态的手牌，[13]和[14]的向听数可以不同。

由于麻将需要“摸一张牌后切一张牌”，所以[14]中，切出任何一张可以达成最多14种[13]的向听数。

(4)听牌：[13]时，差1张有效牌即可进入和牌的手牌状态。

(5)和牌形([14])的种类：

手牌全部为同一种花色，可满足(只需除去国士形)

①标准形：面子×4+对子×1

②七对形：对子×7

(6)听牌([13])的种类:

手牌全部为同一种花色，可满足:

①两面:3个面子+1个对子+1个两面

②嵌张:3个面子+1个对子+1个嵌张

③边张:3个面子+1个对子+1个边张

④双碰:3个面子+2个对子

⑤单骑:4个面子+1张浮牌

(7)一向听([13])的种类：

手牌全部为同一种花色，可满足(只需除去国士形)

①双搭子形：2个面子+2个顺搭+1个对子

12张+1浮牌

②无雀头形：3个面子+1个顺搭+0个对子

11张+3浮牌

顺搭数也可以为2，但是只需满足1个顺搭即可。

③双靠张形：3个面子+0个顺搭+1个对子

11张+3浮牌

④七对子形：5个对子

10张

注：1112255668899p这类也视作1向听。

(8)数学定义:我们用大写字母A、B、C...定义一张牌,由麻将规则,牌具有数值,对于任意牌A,1≤A≤9,且A∈N+.若A=1,则A代表1p.

用小写字母p、q、r...定义同色牌形，如同色牌形p=(1112345678999)代表牌形1112345678999p.

根据麻将定义可知:

面子:分顺子、刻子。

顺子是指3张数字连续的牌组成牌形,用(ABC)表示,满足C-B=1且B-A=1.

刻子是指3张数字相同的牌组成牌形,用(ABC)表示,满足A=B且B=C

杠子是指4张数字相同的牌组成牌形，如1111p。杠子全部都在手牌时，不算做1个面子，而应该拆成1个刻子+1张浮牌.

顺搭：分两面、嵌张、边张.

两面是指2张数字相差为1的牌组成牌形,用(AB)表示,满足B-A=1.

嵌张是指2张数字相差为2的牌组成牌形,用(AB)表示,满足B-A=2

边张是指2张数字相差为1，且包含1或9组成的牌形,用(AB)表示,满足B-A=1,且A=1或B=9

对子：是指2张相同的牌组成牌形,用(AB)表示,满足A=B.

牌形具有集合的无序性,我们可对牌的数值认为规定大小顺序来使其有序.

同时,在麻将中,牌形可拆分为若干个更小的牌形,类似于集合中的包含关系.因此可定义运算:

如果牌形q和牌形r的所有的牌组成一个新的牌形p，则有:

q+r=p

如果牌形p中抽出一组更小的牌形q，剩余的牌组成一个新的牌形r，则有:

p-q=r

抽出牌形的操作在非特殊说明的情况下，是任意的.

可知,对于顺子(ABC),(ABC)=(AB)+(C)=(A)+(BC)=(AC)+(B),即顺子可拆成两面、边张、嵌张之中的1个顺搭和1张浮牌.

可知,对于刻子(AAA),(AAA)=(AA)+(A)即刻子可拆成1个对子和1张浮牌.

可知,对于杠子(AAAA),(AAAA)=(AAA)+(A)即杠子可拆成1个刻子和1张浮牌.

可知,任何的听牌形均可拆成为1向听牌形，因而满足听牌形，也一定满足1向听牌形.

定义任意同色牌形p的长度为L(p)，如牌形p=(1112345678999)中,L(p)=13.

定义任意同色牌形p的牌种类为V(p)，如牌形p=(1112345678999)中,V(p)=9.

由麻将规则可知,1≤V(p)≤9.

定义任意同色牌形p的牌分布数组成为D(p)，如牌形p=(1112345678999)中,D(p)={3,1,1,1,1,1,1,1,3}.

D(p)的元素具有无序性，因此无排序要求下,亦有D(p)={3,3,1,1,1,1,1,1,1}

由麻将规则可知,n个元素≥3,p可存在n个刻子.n个元素=4,p可存在n个杠子.

证明过程：

• 引理1：一副同色牌如果有7种以上的牌，至少有1个顺子。

证明：

已知7≤S(a)≤9.可知,从(123)、(456)、(789)中,缺失任何2种牌，最多只能减少2个顺子，一定还剩余1个顺子.因此得证.

另外,设牌形a=(ABCDEFG),且1≤A＜B＜C＜D＜E＜F＜G≤9.则G-A≤8.

假设不存在顺子，则设命题a:B-A≥2,b:C-B≥2,c:D-C≥2,d:E-D≥2,e:F-E≥2,f:G-F≥2.由题意,利用逻辑代数知识可得

(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+f)=1

化简得ace+acdf+bce+bde+bdf=1.

表明最少会有3个命题为真，于是得

(G-D)+(D-F)+(F-E)+(E-D)+(D-C)+(C-B)+(B-A)=G-A≥1×(6-3)+2×3=9.

与已知条件矛盾,因此假设不成立.则一定至少有1个顺子.

综上所述，引理1成立.

• 引理2：13张同色牌至少有1个面子.

构造牌形b,L(b)=13,由麻将规则可知,4V(b)≥13，得V(b)≥13/4.由于V(b)∈N+，则V(b)≥4.

(13张牌，即一副牌，一定有4种不同的牌.)

则当:

9≥V(b)≥7，由引理1可知，一定有至少1个顺子.

6≥V(b)≥4，假设没有刻子，则任一种类牌使用张数≤2.

得到2V(b)≤12＜13,不合题意,因此假设不成立.

故一定有至少1个刻子.

综上所述，引理2成立.

• 引理3：14张同色牌至少有6个互斥对子，或者至少有2个面子.

构造牌形c,L(c)=14.由麻将规则可知,4V(c)≥14，得V(c)≥7/2.由于V(c)∈N+，则V(c)≥4.

即4≤S(c)≤9.

讨论:

当4≤V(c)≤5时,10≤4+2[V(c)-1]≤12＜14,即至少有1个刻子+1个杠子,设这个杠子为(AAAA),

∵(AAAA)=(AAA)+(A)

∴c存在2个刻子.

当V(c)=6时,令牌形c=set(c)+res(c),set(c)=(ABCDEF),1≤A＜B＜C＜D＜E＜F≤9,.即set(c)的每类牌的分布数集合为{1,1,1,1,1,1},

(意思是牌形c中抽出每种牌各一张组成新牌形set(c)，剩余的牌形组成res(c))

∵L(res(c))=8＞S(res(c))=6

∴由鸽巢原理,D(res(c))中,至少有1个元素为2.

当元素最大值为2时,D(res(c))={2,2,1,1,1,1},即D(c)={3,3,2,2,2,2},可知c存在6个对子,另外,c也存在2个刻子.

当元素最大值为3时,讨论:

D(res(c))={3,1,1,1,1,1},即D(c)={4,2,2,2,2,2},可知c存在6个对子.

D(res(c))中,至少有2个元素为2,即D(c)至少有2个元素为3,可知c存在2个刻子.

当V(c)=7时,令牌形c=set(c)+res(c),set(c)=(ABCDEFG),1≤A＜B＜C＜D＜E＜F＜G≤9.即set(c)的每类牌的分布数集合为{1,1,1,1,1,1,1},

由引理1可知，set(c)至少有1个顺子.

设res(c)对子数为x，则

当x=0时,S(res(c))=7,D(res(c))={1,1,1,1,1,1,1},且res(c)=set(c).

即D(c)={2,2,2,2,2,2,2},可知c存在7个对子.另外,res(c)也存在1个顺子,即c存在2个顺子.

(从麻将牌理来说,这属于“七对子”胡牌)

当x=1时,讨论:

当S(res(c))=6时,D(res(c))={2,1,1,1,1,1,0},D(c)={3,2,2,2,2,2,1},可知c存在6个对子.

当S(res(c))=5时,D(res(c))={3,1,1,1,1,0,0},可知res(c)存在1个刻子,即c有1个顺子和1个刻子.

当x≥2时,即D(res(c))中至少有2个元素为2，则D(c)至少有2个元素为3，可知c存在2个刻子.

当8≤V(b)≤9时，可知,从(123)、(456)、(789)中,缺失任何1种牌，最多只能减少1个顺子，一定还剩余2个顺子.因此得证.

综上所述,引理3得证.

• 引理4：4张同色牌至少有1个搭子。

构造牌形d=(ABCD)，且1≤A≤B≤C≤D≤9，则得D-A≤8.

假设有1个对子，那么满足A=B或B=C或C=D.

假设没有对子，得1≤A＜B＜C＜D≤9.在这种情况下，假设没有顺搭，则有

B-A≥3,C-B≥3,D-C≥3.

三式相加得(D-C)+(C-B)+(B-A)=D-A≥9,不合题意,因此假设不成立,故一定有至少1个顺搭.

综上所述，引理4得证.

• 引理5：6张同色牌至少有2个搭子。

构造牌形f=(ABCDEF)，可知B包含A.且1≤A≤B≤C≤D≤E≤F≤9，

假设有1个对子,则满足A=B或B=C或C=D或D=E或E=F,设这个对子为牌形g,L(f-g)=4，

由引理4,可知f-g至少有1个搭子.即满足牌形f有2个搭子.

假设没有对子,则得1≤A＜B＜C＜D＜E＜F≤9.

∵F-A=(F-E)+(E-D)+(D-C)+(C-B)+(B-A)≥1+1+1+1+1=5

又∵由鸽巢原理，1+1+1＞8-3×2

∴F-E,E-D,D-C,C-B,B-A中，最多有1个=3，至少有4个≤2.

则牌形f存在3个顺搭.或者1个顺子+1个顺搭,设顺子为(HIJ),J-I=1,I-H=1.

∵(HIJ)=(HI)+(J)=(H)+(IJ)=(HJ)+(I)

∴f存在2个顺搭.

综上所述,引理5得证.

• 证明:14张同花色牌切出1张牌后,这副牌一定可进入1向听及以内.

解:由引理3可知,14张同花色牌必然存在6个对子,或者2个面子.如果存在6个对子,将一定满足七对子一向听形.

剩余2张牌，可切其中1张牌。

如果存在2个面子,剩余8张牌,设为牌形h,L(h)=8.

由题意,h没有面子,由引理1,V(h)≠8,V(h)≠7.

当V(h)≤6时,L(h)=8≥V(h),由鸽笼定理,D(h)中,至少有1个元素为2,即V(h)存在1个对子.

设这个对子为i，设j=h-i,L(j)=6,由引理5,至少存在2个搭子,则满足一向听双搭子形.

剩余1张牌，可切其中1张牌。

如果存在3个面子.剩余5张牌,由引理4,剩余5张牌必然也有1个搭子,则满足一向听无雀头形或一向听双靠张形.

剩余3张牌，可切其中1张牌。

证毕。

应用：如果一家正在染手，而且染牌溢出，是可以认定其1向听或者听牌的。

此时要做好防守的准备。

参考文献：

[1]日本 麻雀の数学 网站

[2]Sanjiang Li、Xueqing Yan. Let's Play Mahjong! ArXiv:1903.03294 , 2019