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斜率何必“竖比横”？（2019浙江，15）

2022-12-28 17:55 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2019浙江，15）已知椭圆 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B5%7D%3D1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，若线段 $PF$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心， $%5Cvert%20OF%20%5Cvert%20$ 为半径的圆上，则直线 $PF$ 的斜率是________.

解：

设 $PF$ 的中点为 $M$ ，椭圆的右焦点为 $F_1%0A$ ，

连接 $MF_1$ 、 $PF_1$ ，

易知 $%5Cvert%20OF%5Cvert%20%3D%5Csqrt%7B9-5%7D%20%3D2$

易知 $MF_1%5Cbot%20PF$ ，

所以直线 $MF_1$ 是线段 $PF$ 的中垂线，

所以 $%5Cleft%7C%20PF_1%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20FF_1%20%5Cright%7C%3D2%5Ctimes%202%3D4$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20PF%20%5Cright%7C%3D2%5Ctimes%20%5Csqrt%7B9%7D-4%3D2$ ，

所以 $MF%3D1$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20MF_1%20%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7B4%5E2-1%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B15%7D$ ，所以

$k_%7BPF%7D%3D%5Ctan%20%5Cangle%20MFF_1%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20MF_1%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20MF%20%5Cright%7C%7D%3D%5Csqrt%7B15%7D$ .

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