建平中学高一下数学三月月考卷
建平中学 2022 学年度第二学期 3 月月考 高一数学 B 层试题答案 2023.3.15 注意：1．答卷前，将姓名、班级、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确． 2．本试卷共有 21 道试题，满分 100 分．考试时间 90 分钟． 一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相 应的横线上，每个空格填对得 3 分，否则一律零分． 1.函数 是偶函数，则实数 ____ ________. 2.函数 的单调递减区间是______ __. 3.若 ，则 可以用反正切表示为______ _______. 4.把函数 图像上每一个点的横坐标变为原来 2 倍，纵坐标不变，则所得 图像的函数解析式为_____ ___________. 5.函数 的定义域为__ _. 6. 函数 的值域为____ 1 3 , 2 4 __________. 7.方程 的解集为__ 5 2 2 , 2 6 6 x x k x k x k k Z 或 或 . 8.已知 ，则 2 2 1 tan cot sin cos ___ ______. 9. 函数 的值域为_____ 1 1, 2 2 _____ 10. 函数 2sin 3 f x x a 在区间 有且只有两个不同的零点，则实数 a 的 取值范围是__________ __________________. 11. 函数 cos 2 6 f x x 的定义域为 0,m，值域为 3 1, 2 ，则实数 的取值 y x 2sin 2 , 0, 2 2sin 6 y x 2 5 2 ,2 , 3 3 k k k Z 2 tan , 0, 3 x x x arctan 2 3 sin 2 6 y x sin 6 y x 1 sin cos 1 y x x 2sin 1 sin 3 x y x sin2 cos 0 x x tan +cot 2 4 0, 2 m , 2 2 , 2 x x R x k x k k Z 且 sin +cos sin cos y x x x x 2, 3 3,2范围是______ ___________. 12.平面四边形 中， ，则边 长度的取值范围是 ______ _____. 二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用 2B 铅笔涂 黑，选对得 3 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13. 是 的 （ C ） A． 充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 14.锐角三角形 中，下列结论成立的是 （ A ） A． B． C．存在锐角 使 成立 D． 15.方程 的实数解个数为 （ B ） A． 5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 16.关于函数 有以下结论： ①函数 均为偶函数；②函数 均为周期函数； ③函数 定义域均为 ；④函数 值域均为 . 其中正确命题的个数是 （ B ） A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 三、解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）每题均需写出详细的解答过程． 17.（本题满分 8 分） 已知 是第二象限角，则 3 sin cos tan 2 2 sin tan f ， （1）化简 f 解：（1） 3 sin cos tan cos sin tan 2 2 cos sin tan sin tan f 5 5 , 12 6 ABCD 0 A B C BC 75 , 4 AB 2 6 2 2,2 6 2 2 2k k Z tan tan ABC sin cos A B sin cos A B , AB sin cos A B sin sin A B sin lg x x , f x g x , f x g x , f x g x 1,1 , f x g x 1,1 cos sin , sin cos f x x g x x 18. （本题满分 10 分） 已知 ,求下列各式的值： (1) （4 分）；(2) （6 分） 解：（1） 1 tan 3 ； （2）： tan tan 1 tan t n 1 a . 19. （本题满分 10 分） 设函数 （1）求函数 的最小正周期；（4 分） （2）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ， 求函数 在 上的解析式.（6 分） 解： 2 2 1 1 ( ) cos(2 ) sin sin 2 2 4 2 2 f x x x f x x （1） T ；（2） 1 sin 2 , 0 2 2 1 sin 2 , 2 2 x x g x x x 20. （本题满分 12 分） 如图，上海某避暑山庄所在地（即点 O ）为吸引游客，准备在门前两条小路 和 OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知 6 AOB ，弓形 1 tan 2, tan 4 2 tan sin( ) 2sin cos 2sin sin cos( ) f x( ) g x( ) x ( ) () 2 gx gx 0, 2 x 1 ( ) ( ) 2 g x f x g x( ) ,0 OA tan tan 1 tan 4 tan 2 4 1 tan 1 tan tan 4 sin( )2sincos sincoscossin 2sinsin cos( )coscos sinsin 2 2 ( ) cos(2 ) sin 2 4 f x x x 花园的弦长 ，记弓形花园的顶点为 ， ，设 . （1）将 、 用含有 的关系式表示出来；（6 分） （2）该山庄准备在点 处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计 、 的长度， 才使得喷泉 M 与山庄 O 的距离的值最大？（6 分） 【答案】（1） OA 4 3sin ；（2） 4 3 sin( ) 6 OB 【解析】（1）在 中，由正弦定理可知 ，则 ，由正弦定理可得 ，则 4 3 sin 4 3 sin( ( )) 4 3 sin( ) 6 6 OB OAB . （2） , , ,在 中，由余弦定理 得 cos( ) 6 24(1 cos( 2 )) 4 8 3 sin( 2 ) 3 3 8[ 3 sin( 2 ) 3 3cos( 3 2 ) 2 16 3 sin(2 ) 28 3 ， ， 2 7 ( , ) 3 3 ， 2 3 sin(2 ) [ 1, ) 3 2 ，当 时，即 时， 取最大值 ， 5 4 3 sin 4 3 12 OA 3( 6 2) 6 3 2 ，OB 5 5 4 3 sin 4 3 sin 12 6 12 （ ） = ,即当 OB OA 6 3 2 时， | | OM 取最大值. 21. （本题满分 12 分） | | 2 3 AB M 6 MAB MBA OBA OA OB M OA OB OAB sin sin 6 OA AB sin sin 6 OB AB OAB | | 2 3 AB 2 AM BM OMB 2 48sin ( ) 6 3cos( 2 ) 3 ] 28 5 (0, ) 6 2 2 3 5 12 | | OM 6 3 2 OA 2 2 3sin 4 3sin 6 MAB MBA 2 2 2 2 cos( ) 6 OM OB BM OB BM 4 16 3 sin( ) 6 2 sin(2 ) 1 3 28 16 3 4 2 3 (sin cos 4 6 cos sin ) 4 6 对于函数 （ ），若存在非零常数 ，使得对任意的 ，都有 成立，我们称函数 为 “T 函数”，若对任意的 ，都有 成立，则称 函数 为 “严格 T 函数”． （1）求证： 是“T 函数”；（6 分） （2）若函数 是“ 函数”，求 的取值范围；（6 分） 证明：（1）取正常数 T 2 ，则 ， 所以 对 x R 恒成立， 所以 是“T 函数” （2）因为函数 是“ 函数” 所 以 恒成立，即 恒成立 对一切 成立 所以 因为当 时 所以 f x( ) x D T x D ( ) ( ) f x T f x f x( ) x D ( ) ( ) f x T f x f x( ) ( ) sin , f x x D R 2 ( ) sin f x kx x 2 k 2 sin 2 sin f x x x f x 2 f x f x ( ) sin , f x x D R 2 ( ) sin f x kx x 2 ( ) ( ) 2 f x f x 2 2 ( ) sin ( ) sin 2 2 k x x kx x 2 2 2(sin cos ) 2cos 2 x x x k xR max 2cos 2x k 2 x k k Z max 2cos 2 2 x k 2
