重新开始，

所有学线代的人都必须透彻理解和应用正交变换。 正交变换图形上最直观的作用是：一巴掌把歪七扭八的图形打正，如下： 一巴掌把图形打正 图形立正的同时，不改变其大小与形状，原理后面说。 而图形立正后，表达式也随之立正，\ce{x_{i}x_{j}}群魔退散，平方项真身显现，这样有什么好处呢？ 考研主要涉及下列方面： 1.椭圆长轴、短轴一目了然(后有考研真题案例) 2.巧解多元函数条件极值 3.构造卡方分布(数一/三了解) 4....自行补充 第一个是比较好理解，第二个次之，第三个较难。这里我从易到难，用题目来举例。 例题一： 求椭圆\ce{2x^{2} +4xy +5y^{2}=1}的面积。 常规思路： 在\ce{2x^{2} +4xy +5y^{2}=1}的条件下，通过求\ce{x^{2} +y^{2}}的最大值和最小值，来找长半轴和短半轴，再用椭圆面积公式 \ce{S=\pi ab}计算。 正交变换化标准型思路： 直接找出长短轴，再套椭圆面积公式，过程如下： \ce{2x^{2} +4xy +5y^{2}=1}，改写成 {X^{T} {\begin{pmatrix} 2&2\\ 2&5 \end{pmatrix}} X=1}\\ 再求正交变换X=QY中的Q，进入标准化的无脑模式 ① 求特征值和特征向量 \ce{\left| \lambda E - A \right|=0\Rightarrow \lambda_{1}=6,\lambda_{2}=1} \ce{( \lambda_{i} E - A) \alpha=0\Rightarrow \alpha_{1}=(1,2)^{T},\alpha_{2}=(-2,1)^{T}} ② 特征向量正交化、单位化 \ce{\alpha_{1}，\alpha_{2}}，单位化：\ce{\alpha'_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\left| \alpha_{1} \right|}，\alpha'_{2}=\frac{\alpha_{2}}{\left| \alpha_{2} \right|}} \ce{Q=(\alpha'_{1},\alpha'_{2})} ③ 化标准型 \ce{f=X^{T}AX}在X=QY作用下，化为\ce{f=y^{T}Q^{T}AQy=6y_{1}^{2} +y_{2}^{2}} ∴椭圆表达式化为：{6y_{1}^{2} +y_{2}^{2}=1\Rightarrow\frac{y_{1}^{2} }{\left(\frac{1}{\sqrt{6}} \right)^{2}} +\frac{y_{2}^{2} }{\left(1 \right)^{2}} =1} ∴\ce{a=1,b=\frac{1}{\sqrt{6}}}，∴有\ce{S=\pi ab\Rightarrow S=\frac{1}{\sqrt{6}}\pi} 例题二： 设\ce{f(x_{1},x_{2},x_{3})=X^{T}AX=3x_{1}^{2} +6x_{2}^{2} +3x_{3}^{2} -4x_{1}x_{2} -8x_{1}x_{3} -4x_{2}x_{3}}，求其在条件\ce{x_{1}^{2} +x_{2}^{2} +x_{3}^{2}=1}下的极小值。 解：①求特征值 \ce{A=} {\begin{pmatrix} 3&-2&-4 \\ -2&6&-2\\ -4&-2&3\\ \end{pmatrix}} ∴\ce{\left| \lambda E - A \right|=(\lambda-7)^{2}(\lambda + 2)}, ∴\ce{\lambda_{1}=\lambda_{2}=7},\ce{\lambda_{3}=-2} ②利用正交矩阵标准化 由于实对称阵一定能对角化，故一定存在正交阵Q使 \ce{X^{T}AX\rightarrow Y^{T}Q^{T}AQY=Y^{T}}{{\begin{pmatrix} 7& & \\ &7& \\ & &-2\\ \end{pmatrix}} Y}=\ce{7y_{1}^{2} +7y_{2}^{2} -2y_{3}^{2}} ③ 求极小值 设X=\ce{(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}}, ∴\ce{X^{T}X=x_{1}^{2} +x_{2}^{2} +x_{3}^{2}}  ∴条件：\ce{X^{T}X=1}经过正交变换后X=QY\ce{\Rightarrow}\ce{X^{T}X=Y^{T}Q^{T}QY=y_{1}^{2} +y_{2}^{2} +y_{3}^{2}=1} ∴题目变成: 在\ce{y_{1}^{2} +y_{2}^{2} +y_{3}^{2}=1}条件下，求\ce{7y_{1}^{2} +7y_{2}^{2} -2y_{3}^{2}}的极小值。 怎么求简单？注意到\ce{y_{1}^{2},y_{2}^{2},y_{3}^{2}}和为1，而\ce{7y_{1}^{2} +7y_{2}^{2} -2y_{3}^{2}}只有\ce{y_{3}^{2}}前面是负号，当然\ce{y_{3}^{2}}负的越多，\ce{y_{1}^{2},y_{2}^{2}}正的越少，那么式子值越小，那我们直接让\ce{y_{3}^{2}=1},\ce{y_{1}^{2}=y_{2}^{2}=0}不就满足了么。