复旦大学谢启鸿老师高等代数在线习题课思考题题分析与解 ep.14

2021-08-28 16:55 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在本站高等代数习题课的课后思考题，本文仅供学习交流

本人解题水平有限，可能会有错误，恳请斧正！

Remark:

练习题1 我们利用的是高代白皮书例2.34的结论，只用第三类初等变换就可以把一个可逆阵转化为如下对角阵 $diag%5C%7B1%2C1%2C%5Ccdots%2C1%2C%5Cleft%7CA%5Cright%7C%5C%7D$ ，然后利用单位阵也可以看作第三类初等变换，我们就解决了这个问题

练习题2 这个与视频中的例题略有不同，视频中的例题用的是第三类初等变换，而这里限制了第三类初等行变换，条件更加苛刻，不过依旧可以做，反复使用行变换一步一步，先化为三角阵，然后化为对角阵，再继续做下去就可以将除了右下角的对角线元素化为1，根据第三类初等变换不改变行列式的值以及对角阵行列式计算的方法，我们可以知道右下角元素应该是 $%7CA%7C$

练习题3 本题利用单次计算的迭代就可以证明，先证充分性，对对角阵，右边乘第一类或第二类初等矩阵，同时左边乘它的逆阵，应该还是对角阵，由 $A$ 是若干个第一类初等矩阵、第二类初等矩阵的和，可以得到充分性.再证必要性，由非异阵可以化为若干个初等阵的乘积，于是只需要证明第三类初等阵不能满足题意即可，之后由任意性可知第三类初等阵确实不能满足题意，于是我们就完成了证明