复变函数的积分||数理方法笔记

2021-01-14 17:07 作者:湮灭的末影狐 0人读过 | 我要投稿

//有了微分当然要有积分

//开始吧

//这只是一个非常简略的笔记，内容并不完整，在此分享，仅供参考

2.1 定义

复变函数积分的定义与实变函数类似，但复变量位于一个复平面上，因此积分的值可能与路径有关，本质上是二维平面上实变函数的线积分。

$%5Cint_l%20f(z)%7B%5Crm%20d%7Dz%3D%5Cint_l%20%5Bu(x%2Cy)%7B%5Crm%20d%7Dx-v(x%2Cy)%7B%5Crm%20d%7Dy%5D%2Bi%5Cint_l%20%5Bv(x%2Cy)%7B%5Crm%20d%7Dx%2Bu(x%2Cy)%7B%5Crm%20d%7Dy%5D$

复变函数积分除了类似实变函数的线性特性，还有积分不等式：

$%5Cleft%7C%5Cint_%7Bl%7D%20f(z)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%5Cright%7C%20%5Cleqslant%20%5Cint_%7Bl%7D%7Cf(z)%7C%7C%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%7C$

$%5Cleft%7C%5Cint_%7Bl%7D%20f(z)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%5Cright%7C%20%5Cleqslant%20ML$

其中M是 $%7Cf(z)%7C$ 在积分路径上的最大值，L是积分路径长度。

2.2 柯西定理

2.2.1 对于闭单连通区域(没有洞的闭区域)的任意分段光滑闭合曲线，若 $f(z)$ 解析，

$%5Coint_l%20f(z)%7B%5Crm%20d%7Dz%3D0$

简单证明：对2.1的积分展开式的实部、虚部分别利用格林公式，

$%5Coint_l%20f(z)%7B%5Crm%20d%7Dz%3D-%5Ciint_S(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%7B%5Crm%20d%7Dx%7B%5Crm%20d%7Dy%2Bi%5Ciint_S(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%7B%5Crm%20d%7Dx%7B%5Crm%20d%7Dy$

S是l所包围的区域。根据柯西-黎曼方程，两个面积分均为0.

2.2.2 对于复连通区域，设有n个“洞”(即“内边界”)

$%5Coint_%7Bl%7D%20f(z)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Coint_%7Bl_%7Bk%7D%7D%20f(z)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%3D0$

规定积分正方向：沿(内或外)边界前进时，保持该区域在路径左侧。

由柯西定理还可以给出推论：只要积分路径连续变化而不越过“洞”，解析函数积分只与起点、终点有关。

2.3 不定积分

根据柯西定理，可知沿单通区域任意路径，解析函数的积分只与起点终点有关，故起点固定时，

$F(z)%3D%5Cint_%7Bz_%7B0%7D%7D%5E%7Bz%7D%20f(%5Czeta)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta$

是一个单值函数，在B上解析，并且 $F'(z)%3Df(z)$ , F是f的一个原函数。类似一元函数，有

$%5Cint_%7Bz_%7B1%7D%7D%5E%7Bz_2%7D%20f(%5Czeta)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta%3DF(z_2)-F(z_1)$

另有一个重要结论：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Coint_l%20%5Cfrac%7B%7B%5Crm%20d%7Dz%7D%7Bz-%5Calpha%7D%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A0%20%2C%5C%3B(%7Bl%5Crm%20%5C%3B%20doesn't%20%5C%3B%20include%20%5C%3B%5Calpha%7D)%5C%5C%0A1%2C%5C%3B%20(%7Bl%5Crm%20%5C%3B%20%20include%20%5C%3B%5Calpha%7D)%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

$%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20i%7D%5Coint_l%20(z-%5Calpha)%5En%20%7B%5Crm%20d%7Dz%3D0%5C%3B%5C%3B(n%5Cneq%20-1)$

2.4 柯西公式

设 $f$ 在闭单通区域 $%5Cbar%20B$ 解析， $%5Calpha$ 为区域内任意点，区域边界为 $l$ 柯西公式：

$f(%5Calpha)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(z)%7D%7Bz-%5Calpha%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z$

简单证明：

根据2.3的结论，

$f(%5Calpha)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(%5Calpha)%7D%7B2%20%5Cpi%20i%7D%20%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bz-%5Calpha%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Calpha)%7D%7Bz-%5Calpha%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z$

接下来只要证明：

$%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(z)-f(%5Calpha)%7D%7Bz-%5Calpha%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%3D0$

构造复通区域： $l$ 为外边界，内边界是以 $%5Calpha$ 为圆心的圆C，半径r趋于0.

根据柯西定理和积分不等式，

$%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(z)-f(%5Calpha)%7D%7Bz-%5Calpha%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20z%20%5Cleqslant%20%20%5Cfrac%7B%5Cmax%7Cf(z)-f(%5Calpha)%7C%7D%7Br%7D%5Ccdot%202%20%5Cpi%20r$

由于 $f(z)$ 连续，r趋于0时 $%5Cmax%20%7Cf(z)-f(%5Calpha)%7C%5Crightarrow%200$ ，证毕。

接下来是一些推论：

1. 推广到复通区域

联想之前证明复通区域柯西定理的思路，可知柯西公式仍成立，但需要对所有边界(外边界+洞)沿正方向积分：

$f(z)%3D%5Csum_k%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7Bl_k%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B%5Czeta-z%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta$

2. 推广到外部包含无限远的区域

设复变函数在某回路 $l$ 的外部解析，若构造复通区域如图，

则根据前面对复通区域的推广，

$f(z)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B%5Czeta-z%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7BC%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B%5Czeta-z%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta%20%5C%3B%5C%3B(*)$

若 $f(z)$ 在无穷远连续，则令C的半径趋于无穷，

$%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7BC%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B%5Czeta-z%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta-f(%5Cinfty)%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7BC%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)-f(%5Cinfty)%20%7D%7B%5Czeta-z%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta%5Cright%7C%5Crightarrow%200$

对任意半径的C，(*)式均成立，所以

$f(z)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B%5Czeta-z%7D%20%5Cmathrm%7B~d%7D%20%5Czeta%2Bf(%5Cinfty)$

3. 推论：解析函数可以求导任意多次。

$f(z)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B%5Czeta-z%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta$

$%5CRightarrow%20f%5E%7B(n)%7D(z)%3D%5Cfrac%7Bn!%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%20%5Coint_%7Bl%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B(%5Czeta-z)%5E%7Bn%2B1%7D%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Czeta$

4. 模数原理

闭区域上解析函数 $f(z)$ 的模长极大值只能在区域边界取得。教材上的证明长这样...

但是下面我自己的证法，看上去好像也没什么问题，而且更简单？

假设 $%7Cf(z)%7C$ 在非边界的一点 $z_0$ 取得极大，则存在该点的某邻域，以这一点为圆心，半径为r，在该邻域 $f(z)$ 解析，且在邻域的边界C上 $%7Cf(%5Czeta)%7C%5Cleqslant%7Cf(z_0)%7C$ . 根据积分不等式，

$%7Cf(z_0)%7C%3D%5Cleft%7C%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20%7B%5Crm%20i%7D%7D%5Coint_C%20%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B%5Czeta-z_0%7D%7B%5Crm%20d%7D%5Czeta%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmax%20%7Cf(%5Czeta)%7C%7Dr%20%5Ccdot%202%5Cpi%20r%20%5Cleqslant%20%7Cf(z_0)%7C$