Riemann-Stieltjes积分

2022-02-26 12:31 作者:子瞻Louis 0人读过 | 我要投稿

17世纪时，牛顿与莱布尼兹分别独自发明了一个十分强力的工具——微积分，从此真正意义上的高等数学时代开始了。当时的时代大部分都只运用初等数学的工具，因此产生了许许多多无法解决的问题，例如瞬时速度问题、曲线的切线问题等等。而这个伟大的工具正可以用来解决这些问题。

然而，实际上由他们定义的积分其实是不完善的，是过了很久之后，才由Riemann给出了严格定义，而后来由他定义的积分也就被称为Riemann积分。不过是它其实还是有些缺陷，于是再后来对它改进后的Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue积分补足了其中的一些缺陷

本期的内容正是改进后的一种积分——Riemann-Siteltjes积分（简称R-S积分）

Riemann积分

为了引出R-S积分，先来回忆一下传统的Riemann积分吧，它的严格定义依赖于区间的分割

$K%3D%5C%7Ba%3Dx_0%3Cx_1%3C%E2%80%A6%3Cx_n%3Db%5C%7D$

它称为闭区间[a,b]的一个分割，将这个闭区间分割为了n个小的闭区间，这些小的闭区间就称为分割区间，第k个分割区间为 $%5Bx_k%2Cx_%7Bk-1%7D%5D$ ，记

$%5Clambda(K)%3D%5Cmax_%7B0%5Cle%20k%5Cle%20n%7Dx_k-x_%7Bk-1%7D$

为分割区间的最大长度

在每个区间上选一个标记点 $%5Cxi_k%5Cin%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_k%5D$ ，这样的分割称为标记分割，记为

$(K%2C%5Cxi)%3D%5C%7Ba%3Dx_0%3C%5Cxi_1%3Cx_1%3C%E2%80%A6%3Cx_%7Bn-1%7D%3C%5Cxi_n%3Cx_n%3Db%5C%7D$

于是我们引出Riemann sum：

$%5Csigma(f%3BK%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20x_k$

其中 $f(x)$ 是在[a,b]上有定义的， $%5CDelta%20x_k%3Dx_k-x_%7Bk-1%7D$

下面正式给出Riemann积分的严格定义：

如果对任意 $%5Cepsilon%3E0$ ，在 $%5Clambda(K)%3C%5Cepsilon$ 时，都存在 $%5Cdelta%3E0$ ，使得一个值 $I$ 满足

$%5Cleft%7C%5Csigma(f%3BK%2C%5Cxi)-I%5Cright%7C%3C%5Cdelta$

则此时 $f(x)$ 称为[a,b]上Riemann可积的， $I$ 为它的Riemann积分值，记为

$I%3D%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dx$

用极限的语言来说，其实就是

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dx%3D%5Clim_%7B%5Clambda(P)%5Cto0%5E%2B%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20x_k$

用通俗的语音来说，Riemann积分就是在将区间分割得很小很小的时候，把每个区间上的面积相加得到的

容易验证函数Riemann可积的必要条件是该函数有界

Riemann-Stieltjes积分

因为它是Riemann积分的推广，所以这里沿用上面的记号

设 $f%2Cg$ 是[a,b]上有定义的函数，定义Riemann-Stieltjes sum为

$%5Csigma(f%2Cg%3BK%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20g(x_k)$

其中 $%5CDelta%20g(x_k)%3Dg(x_k)-g(x_%7Bk-1%7D)$ ，如果对任意 $%5Cepsilon%3E0$ ，在 $%5Clambda(K)%3C%5Cepsilon$ 时，都存在 $%5Cdelta%3E0$ 使得一个值 $S$ 满足

$%5Cleft%7C%5Csigma(f%2Cg%3BK%2C%5Cxi)-S%5Cright%7C%3C%5Cdelta$

则称S为f在[a,b]上对g的Riemann-Stieltjes积分，记为

$S%3D%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dg(x)$

同样可以用极限的语言来说就是

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dg(x)%3D%5Clim_%7B%5Clambda(K)%5Cto0%5E%2B%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20g(x_k)$

特别地取 $g(x)%3Dx$ 时就回到Riemann积分的标准定义

实际上，若g是光滑函数，f在[a,b]是Riemann可积的，则根据Lagrange微分中值定理可知存在 $%5Ceta_k%5Cin%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_k%5D$

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csigma(f%2Cg%3BK%2C%5Cxi)%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)(g(x_k)-g(x_%7Bk-1%7D))%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)g'(%5Ceta_k)(x_k-x_%7Bk-1%7D)%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)g'(%5Cxi_k)%5CDelta%20x_k%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)(g'(%5Ceta_k)-g'(%5Cxi_k))%5CDelta%20x_k%5Cend%7Baligned%7D$

由g是光滑函数，f在[a,b]是Riemann可积的，可知在 $%5Clambda(K)%5Cto0%5E%2B$ 时，最后一个和式趋于零，又根据假设 $fg'$ 在[a,b]上是Riemann可积的，于是得到

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dg(x)%3D%5Cint_a%5Ebf(x)g'(x)%5Cmathrm%20dx$

上式给出了R-S积分与Riemann积分的联系

Riemann-Stieltjes积分与部分和

但在之前的一期专栏里我们扯到过下面这样的等式：

$%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cle%20b%7Df(n)g(n)%3D%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dG(x)$

其中f是[a,b]上的连续函数，g是数论函数， $G(x)%3A%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7Dg(n)$

显然，这并不是Riemann意义上的积分，并且也无法将它直接转化为Riemann积分，但是我们不妨利用R-S积分的严格定义来讨论这个积分，首先取一个标记分割

$(%5CPi%2C%5Cxi)%3A%3D%20%5C%7Ba%3Dx_0%3C%5Cxi_1%3Cx_1%3C%E2%80%A6%3Cx_n%3Db%5C%7D$

则f 对G的R-S的R-S sum就是

$%5Csigma(f%2CG%3B%5CPi%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20f(%5Cxi_k)%5CDelta%20G(x_k)$

下面将对 $%5CPi$ 分割出的n个区间分为两部分：

$%5CPi%3D%5Cleft(%5Cbigcup_%7Bh%5Cin%20H%7D%5Bx_%7Bh-1%7D%2Cx_h%5D%20%5Cright)%5Ccup%5Cleft(%5Cbigcup_%7Bl%5Cin%20L%7D%5Bx_%7Bl-1%7D%2Cx_l%5D%5Cright)$

其中H是使得 $%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_k%5D$ 中包含某个整数的角标集合，而另一部分则是使得其中不包含整数角标集合，则

$%5Csigma(f%2CG%3B%5CPi%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7D%20f(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%20L%7Df(%5Cxi_l)%5CDelta%20G(x_l)$

注意到

$%5Cforall%20l%5Cin%20L%2C%5Bx_l%5D%3D%5Bx_%7Bl-1%7D%5D%5CRightarrow%5CDelta%20G(x_l)%3DG(%5Bx_l%5D)-G(%5Bx_%7Bl-1%7D%5D)%3D0$

$%5CRightarrow%20%5Csigma(f%2CG%3B%5CPi%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7Df(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)$

设 $n%5Cin%5Bx_%7Bh-1%7D%2Cx_h%5D$ ，当 $%5Clambda(%5CPi)%3C1$ 时该n是唯一的，于是 $%5CDelta%20G(x_h)%3Dg(n)$ ，又因为f连续可导，于是存在 $%5Cdelta$ 使得

$%7Cf(%5Cxi_h)-f(n)%7C%5Cle%5Cdelta$

因此

$%5Cleft%7C%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7Df(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)-%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cle%20b%7Df(n)g(n)%5Cright%7C%5Cle%5Cdelta%20(G(b)-G(a))$

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5CRightarrow%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dG(x)%26%3D%5Clim_%7B%5Clambda(%5CPi)%5Crightarrow%2B0%7D%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7Df(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cle%20b%7Df(n)g(n)%5Cend%7Baligned%7D$

除此之外，Able求和公式：

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dG(x)%3Df(b)G(b)-f(a)G(a)-%5Cint_a%5EbG(x)%5Cmathrm%20df(x)$

指出了R-S积分具有与Riemann积分完全一样的分部积分公式

一个渐进公式

我们（除某江方士）都知道，调和级数是发散的，而利用R-S积分可以轻易证明这一定理

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n%26%3D%5Cint_%7B1-%5Cdelta%7D%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%5Bt%5D%7D%7Bt%7D%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7B%5Bx%5D%7Dx%2B%5Cint_%7B1-%5Cdelta%7D%5Ex%5Cfrac%7B%5Bt%5D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Bx-%5C%7Bx%5C%7D%7Dx%2B%5Cint_%7B1-%5Cdelta%7D%5Ex%5Cfrac%7Bt-%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D%5Cln%20x%2B1-%5Cint_1%5Ex%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt-%5Cfrac%7B%5C%7Bx%5C%7D%7Dx%5Cend%7Baligned%7D$

$%5CRightarrow%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n-%5Cln%20x%3D1-%5Cint_1%5Ex%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt-%5Cfrac%7B%5C%7Bx%5C%7D%7Dx$

令 $x%5Cto%5Cinfty$ ，此时右式是收敛的，而左式刚好是Euler常数，于是可以得到

$%5Cgamma%3D1-%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt$

往回代入，可得：

$%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n%3D%5Cln%20x%2B%5Cgamma%2B%5Cint_x%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt-%5Cfrac%7B%5C%7Bx%5C%7D%7Dx$

$%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n%3D%5Cln%20x%2B%5Cgamma%2B%5Cmathcal%20O%5Cleft(%5Cfrac1x%5Cright)$

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Riemann-Stieltjes积分与部分和

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