2023数分每日一题学习感悟-Day12(一致连续二)

一、整体感受：这类一致连续题目，和day11连起来，都属于非常经典的书中习题，这类“结论题”，要做到拿来会默。

二、本质：仍然是计算题，想要提高这类语言叙述题的水平，只能是多写、多练。

三、具体题目

（一）北京工业大学、广西大学

很经典，书中有原题。

思路：

1、先证明f+g一致连续，用一下一致连续定义就可以了。

2、再举出反例说明f*g不一定一致连续。注意不一致连续的说明，如何取ε0，是任取δ’，x'=1/δ'+δ'/2，x''=1/δ’这些细节书写清楚.   

（二）哈工大

也很经典，也是书上定理。

关键点：这里g(x)有界是关键点。

第一问思路：

1、利用题干中g(x)有界定义，可以存在一个M

2、使用f(x)连续，由于这里存在符合，可以把这个f(x)连续看成f(u)连续，这里把u看成g(x).利用在R上连续，必然在闭区间[-M,M]上连续，必然一致连续。写出在这个范围中一致连续的定义，注意是关于u',u''的。这里取的一个δ'>0在下面的证明过程很重要

3、利用g(x)一致连续的定义，写出来，此时一致连续中的ε就是上述的δ'.

4、注意到这里g(x'),g(x'')∈[-M,M]，便可利用2中一致连续的结论得出最后要证明的复合函数的一致连续性

第二问思路：

举反例，取f(x)=x^2,g(x)=x,取xn=(n+1)^(1/2),yn=n^(1/2),不满足一致收敛的充要条件，可见day11有补充该一致收敛的充要条件

（三）重庆大学

很经典的结论题，基本每本数分参考书、裴礼文上面也有。

说明：

1、这里证充要条件，对于“有界”这个条件只有在证充分条件的时候才使用到；

2、对于无穷区间也有一样的结果.

问题转化：实际上想让你证明的是：

“有界区间上一致连续”←→“f(x)可把Cauchy列映成Cauchy列”

思路：

1、必要性证明：证明必要性简单，只要写出一致连续的定义，然后再写出Cauchy数列的定义，使得an,am之差符合上面所说的自变量之差小于δ，便可得到f(an)也是Cauchy数列。

2、充分性证明：利用“f(x)可把Cauchy列映成Cauchy列”，采取反证法，写出非一致连续的定义（注意学习怎么写）。然后依次取δ=1/n(n=1,2,3,....),是δ依次取，不是xn依次取，这一点特别注意。存在xn,yn∈I，虽然满足|xn-yn|＜δ=1/n,但是|f(xn)-f(yn)|≥ε0.再由I的有界，利用有界函数必有收敛子列｛xnk｝，由于|xn-yn|＜δ=1/n→0（n→∞），所以｛yn｝中也有相应的子列｛ynk｝,也收敛于相同的极限。

所以记一个新数列｛zn｝：xn1,yn1,...,xnk,ynk,....由于｛zn｝收敛，得出其为Cauchy列。

但是｛f(zn)｝:f(xn1),f(yn1),....,f(xnk),f(ynk),.....而之前已经有|f(xnk)-f(ynk)|≥ε0，所以不是Cauchy列，这与题干中写的“f(x)可把Cauchy列映成Cauchy列”矛盾了，所以假设错误，说明f(x)在I上一致连续。

四、需要学习的，未掌握的

1、Cauchy列定义？

2、Cauchy列的充要条件？

一个数列收敛的充分必要条件是它是Cauchy列（基本列）