静电场（三）

这篇文章接着上期讲高斯定理例题与环路定理。这里是上篇文章传送门，讲的是电荷连续分布与高斯定理。静电场（二）

用高斯定理算场强要选取合适的高斯面并运用对称性分析。下面列举三道经典例题感受一下。

第一题是关于球对称电场：已知一个带电均匀的薄球壳，带正电，电量为Q，半径为R。求该球壳产生的场强分布

既然电荷均匀分布，具有旋转不变性，那么场强分布也应有旋转不变性。在球坐标下分析：

旋转时只有Er是不变的，即只有Er存在，电场是沿径向分布的球对称电场。我们取以球壳球心为球心的球面作高斯面，那么计算电通量时点乘的θ角为0。

可以看到，均匀带电球壳内部场强为0，且在其表面处场强的数值有一个跃变。

为什么不写r=R处场强呢？因为这不能通过高斯定理解决，点电荷分布在高斯面上是没有意义的。这一层只能用场强叠加硬算，解决起来稍困难些。这里就提供一个网址，这篇文章就是探讨带电球壳表面场强的。https://wenku.baidu.com/view/4c3681f1ae51f01dc281e53a580216fc700a5329.html?_wkts_=1674720952635&bdQuery=%E5%B8%A6%E7%94%B5%E7%90%83%E5%A3%B3%E5%9C%BA%E5%BC%BA%E5%88%86%E5%B8%83

我们可以把球壳塞满变成球。同样的条件求场强分布。

提示：如果r＜R，则把球看作两部分，一是半径为r的球，第二就是带电球挖掉第一部分。第二部分对该点场强无贡献。答案应该挺容易算了吧。

读者也可以自己出练习题自己做，比如两个同心带电球壳，两个有重合部分的球壳，把球体挖掉一块等等等等。

第二题是轴对称的电场：求线电荷分布均匀的无限长带正电细棒场强分布，线电荷密度为λ。

同样看三个方向的场强利用对称性分析考察哪些方向的场强不能存在。其实通过前面做过的题与我们的猜测，应该还是只有E1存在的。利用镜像反射对称性可得出。

由对称性易得，距离该棒等距离远处的场强大小是相等的，方向与棒垂直向外。既如此，我们可以取一段研究

第三题是无限大带电平面的电场：求一个无限大均匀带正电平面的场强分布，设面密度电荷为σ。

老手艺，还是对称性分析。

还是用镜像对称可得只有E1存在，同时又有平移不变性，距离平面等距离的点的场强大小相等。顺带一说，若两点分居平面两侧，则方向相反，垂直于平面

既然有平移不变性那还是可以取一块分析

这个结果表明场强大小与场点与无限大带电平面的距离无关。

这一结果同样是重要的，后面平行板电容器等等也会再次用到。

读者不妨自己练练，比如给3个无限大带电平面，电荷正负自己定，算算场强（够简单吧，无脑秒杀）。自己出习题做我已经强调了很多遍，这是一个很好的学习方法。

三个经典例题就讲完了，三道题代表三种类型的电荷分布，方法是大同小异的，完全吃透了就可以挑战更难的题。目前的方法在对称性加持下能解的场强分布就几种，要能找到好算的通量，找到合适的高斯面。如果没有对称性那么可能就有二重甚至三重积分，数学上的复杂程度会大大增加，没学数分的我们不会。

以上三个题的结果通常也会当作小结论使用。

下面就要讲环路定理了。环路定理的内容是：静电场力沿任一闭合回路做功为0。说到做功，我们先讨论电场力是否为保守力。如果一个力做功与路径无关，那这个力就叫做保守力，反之为非保守力。比如重力为保守力，摩擦力为非保守力。

单个点电荷激发的电场为有心力场，就是说在该电场里任一点所受的力的方向都是沿着该点与点电荷（即一个“中心”）联线的。事实上，任何有心力场做功都与路径无关。这里针对库仑力证明一遍：

事实上，环路定理的表述与之是等价的。

这里提到了环量。用类似研究通量的方法也可以研究环量，请读者自行探索。这里说一下环量与流速场中涡旋的关系。若环量大于0，则有与环路绕行方向相同的涡线穿过环路，小于0则表示有与环路绕行方向相反的涡线穿过环路。等于0则无涡旋或是涡线抵消了，可以取更小的环路继续研究。

高斯定理与环路定理分别反映静电场的2个性质：有源（或汇），无旋。也要注意，推导高斯定理需要用电力平方反比律，而推导环路定理并不需要。

三连哟