（随笔）由p²+26不是质数想到的

（一）：首先让我们看一道证明题：

已知p是任意质数，证明p²+26不是质数。

证明：因为p是质数，所以p是2或者奇数。（因为除2以外的其余正偶数必定会被2整除）

当p为2时，p²+26=30，能被2整除，不是质数。

当p为奇数时，p的个位数为1,3,5,7或者9。

所以p²的个位数为1,5,9。（个位数为1或9的数，其平方的个位数为1，个位数为5的数，其平方的个位数为5，个位数为3或7的数，其平方的个位数为9）

当p²的个位数为5时，因为p是质数，所以p只能为5，而p²+26=51=3×17，所以不是质数。

当p²的个位数为9时，p²+26的个位数为5，所以能被5整除，不是质数。

当p²的个位数为1时，原式可变为（p-1）（p＋1）＋27，因为（p-1），p，（p＋1）必定有一个是3的倍数，所以当p不为3时，因为p是质数，所以p不能被3整除，则（p-1）（p+1）是3的倍数。所以p²+26能被3整除，不是质数。

当p为3时，p²+26=35=5×7，不是质数。

综上得，当p为质数时，p²+26不是质数。得证。

（二）：那么让我们进一步思考，当p为质数时，若想p²+k（k∈N+）不为质数，那么参数k该满足什么条件？

根据上述证明可得，原式可写为（p-1）（p＋1）+（k+1）。由于p为质数，则p为2或者奇数。因此p²为4或者奇数。当参数k为奇数时，只需要满足4＋k不为质数即可得p²+k不为质数（因为当p²为奇数时，p²+k为偶数，能被2整除）

此时满足条件的参数k的值有5,11,17,21,23等，也就是每一个奇数合数-4得到的值都是符合条件的参数k的值。（而当k=6n-1（n∈N+）的时候或者k的个位数是1的时候是一定满足条件的）

那么当参数k为偶数时，符合条件的k有什么要求呢？

因为p是质数，所以p除了3以外的值都不能被3整除。因为原式可写为（p-1）（p＋1）+（k+1），而p不取3时，（p-1）（p＋1）必为3的倍数，因此当k+1是3的倍数时且当p不为3时，p²+k一定能被3整除。又因为k是偶数，所以满足条件的参数k只需满足9+k不是质数且k=6n+2（n∈N+）即可。而上述的k=26的情况下n=4，且9+k=35是合数。

因此又能找出一组k的参数值26,56,68,86,110,116,146，152,176等，从上可得当k=30n-4（n∈N+）或k=42n-16（n∈N+）时参数k是一定满足条件的。当然许多其他偶数也可能满足要求。

（三）：那么让我们进一步思考，当p为任意正整数时，若想p²+k（k∈N+）不为质数，那么参数k该满足什么条件，能否找到这样的参数？

由于p从质数扩大到了任意正整数，则p²的个位数取值可以为1,4,5,6,9,0。因为原式可写为（p-1）（p＋1）+（k+1），所以当（k+1）能被3整除时，如果p不能被3整除，那么p²+k能被3整除，不为质数。当p能被3整除时，再分情况讨论：

（1）参数k为偶数且p能被3整除，但是是奇数；则p不能被6整除，p=6n+3（n∈N），原式等于36n²+36n+9+k（n∈N）。由于k为偶数，所以（9+k）为奇数，且9+k除以3商为奇数，余2。因为36的所有约数为1,2,3,4,6,9,12,18,36，而（9+k）不能被以上除1以外的任意数整除。若36n²+36n+9+k（n∈N）为合数，则其可以因式分解为（a₁n+b₁）（a₂n+b₂）。该因式满足要求a₁a₂=36，a₁b₂+a₂b₁=36，b₁b₂=9+k（a₁，b₁，a₂，b₂均为非0整数）。所以同时满足上述不定方程组和k=6n+2（n∈N+）的所有正整数参数k都能满足要求。根据a₁a₂=36，a₁b₂+a₂b₁=36得b₂/a₂+b₁/a₁=1，根据b₁b₂=9+k（正整数，奇数）可得b₁，b₂一定都是正整数，且b₁，b₂均为奇数。因为a₁a₂=36是偶数，所以a₁，a₂一定有至少一个偶数。因为b₁，b₂都是奇数，所以b₂/a₂，b₁/a₁一定都是分数且和为正整数。进一步可以推得a₁，a₂都是偶数。因此只有两种情况：a₁，a₂均为6或者a₁，a₂分别为2或18。当a₁，a₂均为6时，原式可写为（b₁+b₂）=6，因此b₁b₂=-b₁²+6b₁=-（b₁-3）²+9的最大值为9，而9+k很显然大于9，矛盾。当a₁，a₂分别为2或18时，假设a₁为2而a₂为18，原式可写为（9b₁+b₂）=18，所以b₁b₂=b₁（18-9b₁）=-9（b₁-1）²+9，最大值同样为9，而9+k很显然大于9，矛盾。同理亦可以推得a₁为18而a₂为2时，b₁b₂=b₂（18-9b₂）=-9（b₂-1）²+9，矛盾。所以无法找到这样的正整数参数k。

（2）参数k为奇数且p能被6整除；p=6n（n∈N+），原式可变为36n²+k（n∈N+）。因为36的所有约数为1,2,3,4,6,9,12,18,36，而k（不是3的倍数）不能被以上除1以外的任意数整除。若36n²+k（n∈N+）为合数，则其可以因式分解为（a₁n+b₁）（a₂n+b₂）。该因式满足要求a₁a₂=36，a₁b₂+a₂b₁=0，b₁b₂=k（a₁，b₁，a₂，b₂均为非0整数）。所以同时满足上述不定方程组和k=6n-1（n∈N+）的所有正整数参数k都能满足要求。根据a₁a₂=36，a₁b₂+a₂b₁=0可得b₂/a₂+b₁/a₁=0,可得b₁b₂一定是一个负数，而这与k为正整数的已知条件矛盾，所以无法找到这样的正整数参数k。

综上可得，当（k+1）能被3整除时，无法找到对应的正整数参数k使得p²+k（k∈N+）不为质数。

当k能被3整除时，若想证明无法找到正整数参数k使得p²+k（k∈N+）不为质数，只需找到一种特殊情况即可。当p=3n+1（n∈N）时，原式等于9n²+6n+1+k（n∈N），若p²+k（k∈N+）不为质数，原式可写为（a₁n+b₁）（a₂n+b₂），其中a₁a₂=9，a₁b₂+a₂b₁=6，b₁b₂=1+k（a₁，b₁，a₂，b₂均为非0整数）当a₁，a₂均为3时，（b₁+b₂）=2，所以b₁b₂=-（b₁-1）²+1的最大值为1，而1+k显然大于1，矛盾。当a₁为1而a₂为9时，（9b₁+b₂）=6，

所以b₁b₂=-（3b₁-1）²+1，最大值同样为1，而1+k显然大于1，矛盾。综上可得，当k能被3整除时，无法找到对应的正整数参数k使得p²+k（k∈N+）不为质数。

当k+2能被3整除时，若想证明无法找到正整数参数k使得p²+k（k∈N+）不为质数，只需找到一种特殊情况即可。当p=3n（n∈N+）时，原式等于9n²+k（n∈N+），若p²+k（k∈N+）不为质数，原式可写为（a₁n+b₁）（a₂n+b₂），其中a₁a₂=9，a₁b₂+a₂b₁=0，b₁b₂=k（a₁，b₁，a₂，b₂均为非0整数）。根据a₁a₂=9，a₁b₂+a₂b₁=0可得b₂/a₂+b₁/a₁=0,可得b₁b₂一定是一个负数，而这与k为正整数的已知条件矛盾，所以无法找到这样的正整数参数k。

因为k，k+1，k+2一定有一个能被3整除，所以上述情况涵盖了所有参数k的可能取值。

综上所述，当p为任意正整数时，不存在一个正整数参数k，使得p²+k不为质数。