速成抢救:考研高数·常见泰勒展开永久性牢记

考研的小伙伴们都知道泰勒公式的重要性，

一、常用8个泰勒展开

8个常用泰勒展开长什么样网上都有，大家的复习全书上也有，考研数学中常见的泰勒展开及其麦克劳林展开有8个：下图引用了别人的，出处已附于图名

泰勒公式是高等数学中的基本定理，基本定理的战术地位一般充当公理，不加证明地直接给出来，或者说我们不用管其推导过程。

作者自制的记忆攻略：

原则上先易后难、以实击虚、从掌握走向掌握。

1、只背麦克劳林展开，某一点的泰勒展开无非是麦克劳林展开的平移。

2、依据这些常见泰勒展开式的相互联系，把其分为两簇。

3、左边那一簇开头是e^x，它的形式易于背过，是Σx的n次幂/n阶乘，之所以没出现n阶导是因为e^x的n阶导均是e^x，x趋于0时e^x=1。这一族的收敛域都是R

4、然后令e^ix=cosx+isinx（欧拉公式），会有：

于是可得cosx和sinx的泰勒展开。

5、tanx、arcsinx、acttanx

只背前两项，

arcsinx~x+1/6x³、sinx~x-1/6x³、

arctanx-1/3x³，tanx~x+1/3x³

6、另一簇以(1+x)^m为基础，它是二项展开的推广，这个好背，

7、然后当负一次幂时

9、1/1+x²为1/1+x中把形参x替换为x²，1/(1+x²)也为atanx的一阶导数，所以积一次分有：

10、常见的泰勒展开的的组合形式的泰勒展开式，比如双曲函数shx和chx：

我们可以用e^x的泰勒展开来推导，sinhx保留e^x的奇函数项，coshx保留e^x的偶函数项：

通过代换关系写出sinhx和coshx的泰勒展开