次序统计量的分布

  次序统计量分布的部分定理推导

此文是结合书本与所学个人理解，谨慎参考，如有谬误感谢指导。

X1,X2,...Xn是来自总体X的样本，X(k)即为该样本中的第k个次序统计量。

获得样本观测值x1,x2,...,xn后从小到大排序即可得到有序样本。

观察直观的图表，并通过一系列计算。

由以上图表可见样本与次序统计量是完全不相同的。

再观察某个次序统计量的分布和任意两个次序统计量的联合分布

由以上可以理解，来自总体X的样本X1,X2,...,Xn中的各个分量都是独立同分布的，而次序统计量X(1),X(2),...,X(n)中各个分量，既不独立也不同分布。

定理1:总体X的密度函数为p(x),分布函数为F(x),取样本量为n样本(X1,X2,...,Xn),则起第k个次序统计量X(k)的密度函数为:

                                 

下面是推导过程:

  

第k个次序统计量的概率，可以看做三个事件的概率P(ABC)

对任意实数x:  ,（古典概型分组: 有n个分量，先选出k-1个再从n-k-1选1个，最后剩下n-k个分量里选出n-k个分量。)

1. 有k-1个分量落在区间<=x的事件的概率，由古典概型，已知有n个分量，选出含k-1个分量的组合，有种分法，且分量小于等于x的概率为

   P(A）= 

(k-1个分量中每个分量<x的概率均为F(x)，所以F(x)会有k-1次幂，最后因为从n个分量里选出k-1个分量进行组合有种组合法，每种组合至少发生一种,所以最后得出此概率公式即是 ）注:以下方法皆以此理解得出。

2.X(k)落在(x , x+deltax]区间事件的概率

再由古典概型的，该种组合有种分法。

3.最后剩下n-k个分量落在的区间里，有种分法，对应概率

最后三事件概率相乘整理得:

最后由两边同时除以，并令,由导数定义可得第k个次序统计量X(k)的密度函数:

最后得证: