连续与离散域各种傅里叶变换推导方法对比

先看傅里叶级数的来历：

由于其系数满足：

得到：

虽然f(x)的周期T不一定是2pi,但可以让T变得与2pi相关。因此傅里叶级数是由三角级数推出，也就是针对周期函数而言。系数Fn的积分区间是一个周期。

简单代换：

得到：

因此，傅里叶变换是假设傅里叶级数中的周期无穷大，也就是针对非周期函数而言。系数Fjw的积分区间是无穷大。

很自然地想到，周期函数有没有傅里叶变换呢？

对于周期函数，先将其展开为傅里叶级数，再对这个展开后的表达式进行傅里叶变换：

从而得到周期函数的傅里叶变换：

因此，周期函数的傅里叶变换，是将傅里叶级数和傅里叶变换两者相结合的产物。正向变换FT的积分区间也是无穷大。正向傅里叶变换中的函数周期是经过周期延拓得到的，原因是其频谱中存在冲击序列。

对于离散序列来说，同样分为三种情况。

因此，DFS就是周期函数离散域的傅里叶级数。正变换的积分区间是一个周期。

同样，对于离散域的非周期函数而言：

因此，DTFT就是非周期函数离散域的傅里叶变换。正变换的积分区间是无穷大。

对于离散域的周期函数来说，周期序列实际上只有有限个序列值才有意义, 因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换 (DFT).

具体而言, 我们把

(1) 时域周期序列看作是有限长序列 x(n) 的周期延拓;

(2) 把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期 延拓.

(3) 这 样 我 们 只 要 把 DFS 的 定 义 式 两 边 取 主 值 区 间, 就 得 到 关 于 有 限 长 序 列 的 时 频 域 的 对 应 变 换 对. 这 就 是 数 字 信 号 处 理 课 程 里 最 重 要 的 变 换 ------- 离 散 傅 里 叶 变 换 (DFT).

这样看来，DFT与DFS的表达式完全相同，但两者在理念上还是不一样的：DFS中的函数周期是一个真正的函数周期，比如一个余弦函数的周期2pi；但DFT中的周期是想象出来的，比如我们可以把一个半周期的余弦函数作为一个完整的函数看待，再对其进行周期延拓。

因此，DFT中正向变换的周期同样是进行周期延拓得到。

DFT还可以有另一种表示方式。参考连续域的周期函数的傅里叶变换，是先展开为傅里叶级数得到，离散周期序列同样可以先展开为DFS,再得到DFT：

参考IDFT表达式，

式（1）就是周期性序列的傅里叶变换表示式，其频谱中同样存在冲击序列。而这个表达式就是数字信号分析中最重要的表达式。

总结如下：

1：傅里叶级数FS由三角函数推导得出，因此是针对周期函数来说的；相对应的离散域傅里叶级数是DFS。

2：令FS中的周期无限大，得到傅里叶变换FT；离散域相对应的是DTFT。

3：周期函数也存在傅里叶变换，其频谱中的周期是经过周期延拓得到，原因是因为其频谱中存在冲击函数序列，这也是周期函数展开为傅里叶变换后相当于进行了周期延拓的原因所在。离散域相对应的是DFT。