只有中国人才会玩的神奇魔术——自然数

中国古代数学基本是在自然数框架下进行的。虽然中国最早认识到负数、分数、无理数、实数，但历代算学家们最感兴趣的仍是自然数。这一方面是计算工具导致的，不论筹算还是珠算，都要将实数化为有理数、再化为自然数。另一方面，也是因任何实测的结果本质上都是自然数，无论你是度量、还是权衡，测量的数据总是最小刻度的整数倍。所以，中国古代数学有一个非常重要的概念，就是“率”，大家熟知的，有比率、概率、圆周率等等。所谓率，用现代话说，就是无量纲数。经典物理中的“单位”在古代数学（现代物理中亦然）中是非常不重要的，所有的数学讨论都要无量纲化。

之所以允许使用率，是跟秦始皇统一度量衡有关。中国的历朝历代，都有统一度量衡的传统，所有天下的匠人都能在同一个标准下工作。像《营造法式》一开篇就讲度量衡的标准，基本采用《唐六典》的规制。西方自然科学之所以强调单位，与他们的国家小、单位制始终不统一有关。因此可以这样说，是文化源流的不同导致了科学范式的这种根本性差异。

由于是基于“率”的数学，单位不重要了，所以单用自然数来讨论自然规律就变得非常自然。真要运用于实际时，只需要在率上面乘以相应的乘率（单位）即可。正是由于以上原因，中国古代数学中，一个最重要的讨论对象，就是余数。

余数的物理意义，从我们现代观点来看，就是测量误差。假设，一把尺子的最小刻度为5公分，那么1、2、3、4公分用这把尺子是无法测量出的，它们都是5的余数。讨论余数在中国人的哲学观中意义重大。正如我们讨论占卜时候说的，占卜是在信息不充分的情况下，利用概率来决疑。而占卜当中用的最多的，就是余数。

事实上，余数的出现，正是信息获取不充分的结果。当一个事物，我们无法认清其内部结构时，可以把它看成一个黑匣子，利用能够测量出的最小数据，再对这个数据的余数进行分析，就能从理性上判断出这个事物可能的属性。

最典型的一个案例，就是河图洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，这一句话让千百年来众多智者想破了脑袋。到底什么是河图、什么是洛书，这一直是争议无穷的问题。

我这里采用宋朝版本的河洛。所谓河图，就是把5和10两个数字放在中间，1和6放下面，2和7放上面，3和8放左边，4和9放右边。所谓洛书，就是俗称的九宫格。即

4 9 2

3 5 7

8 1 6

这个九宫格有两种方法获得，一种是把123456789按顺序斜放成菱形，然后19、37交换即得，另一种，是把9个自然数倒序排，然后28、46交换即得。很显然容易看出，这个正方形格子里，不管横排、竖排、斜排的三个数字，求和均为15。

说实话，现代人看这个东西，真心觉得有点小儿科。这无非是把基本自然数做了一些简单的排列组合啊，这有什么神奇之处，为什么历代易学家们要殚精竭虑，还要号称“河洛”是周易象数学的祖宗？

为了找到问题的答案，我也不知翻了多少书，后来总算有一点心得。

首先，河洛是一个整体，河图是本、洛书是用，河图主静、洛书主动，河图数至10，穷尽了十进制的基本自然数，洛书至9，则是穷尽所有用数。

其次，河图本质上是一个体现同余的图案。如果以5为模，那么1和6、2和7、3和8、4和9、5和10，均是同余数。如果把这10个数字组成一个加法模10的整数群（Z10），很容易发现，这个整数群有两个正规子群，也就是{5、10}和{2、4、6、8、10}，而且这两个子群互不包含。前一个子群同构于加法模2群（Z2），后一个同构于加法模5群（Z5）。这样的特征，使得我们可以将这十个数分别去和阴阳与五行对应。或者说，我们可以用阴阳和五行分别对余数进行分类，就像我们在群论中所做的那样。分类的思想在中国古代影响深远，它和我们现代人用元素周期表对元素分类有许多异曲同工之处。

第三，洛书本质上是定义了一系列的矢量集合。根据大衍之数的规则，天1生水，地6成之，这就相当于定义了一个从1指向6的矢量。同理，也定义了从2指向7、从3指向8、从4指向9的矢量。把这几个矢量画在洛书上，实际是给出了一个五行的演化方向图。

如果你认为这就完了，那还远远没到。河洛之学能够讲的门道实在是非常的多。若把上下左右四方的四个奇数一分为二，把相应的一半分别放在其左右两隅，再与相应的数字相加，你会发现，东南、西南、东北、西北四隅的数字之和全是9！比起前面的九宫格，这可就相当nontrivial了，基本上已经有了现代直角坐标系的雏形。事实上，洛书中定义的四方、四隅，本质上就是坐标系的概念，历代数术都是按此讨论的，只是我们没有明确讲出“坐标系”这三个字罢了。

除了河洛，还有一个很多人很感兴趣的东西，那就是易经八卦。八卦到底是怎么来的，或者说，八卦里的阴阳爻到底是怎么来的，这说法不下十种吧。其中有一种我非常不满的，就是郭沫若的说法。他说阳爻就是代表男根，阴爻就是代表女阴。这个观点我不得不吐槽一下，谁家男根还能横着长吗？真要模拟男根样，那也得是画条竖线、而不是横线吧？

我个人更倾向于认为阴阳爻是来自木工活里的榫卯结构。一方面，榫卯结构出现得非常早，河姆渡就有这样的考古遗迹，另一方面，榫卯结构相互咬合的特性，很好地反映了阴阳互抱的原则。当然，这只是我个人看法，姑妄听之吧。

现代人一讲周易八卦，马上就会联想到二进制。二进制是什么，加一倍法嘛，1、2、4、8、16……听上去的确和二进制有许多相似之处。但马上一定会有人说，这绝对是往自己脸上贴金。周易数卦到64就结束了，也没往后进行，这和二进制现在在计算机上的用处，相去太远。如果你是这样理解加一倍法的，那就太天真了。到底什么才是真正的加一倍法？

我们把1、2、4、8、16按这样的规则拆开来，即

1

11

121

1331

14641

……

其中，每一行所有数字的和，正是1、2、4、8、16……你一定会问，我为什么要做这样的拆分呢？很简单，这里的每一行，除了数字相加正是加一倍法外，还有一个特征，它们都是11的幂。即，分别是11的0次、1次、2次、3次、4次幂。11对应的是2，其相应的0次、1次、2次、3次、4次幂正是1、2、4、8、16。是不是很神奇？而最神奇的地方是，上面这个东西正是我们说的杨辉三角。杨辉三角是三角垛积术的基础，利用这个垛积术，就可以立即求出各种曲线的微积分，从而建立整个现代数学体系。所以周易八卦并非我们所想的那么简单。

最后再说几句勾股术。在传说中几百种证明的方式中，赵爽对勾股定理的证明无疑是最简单明确的。勾股术的应用前面其实已经提到了许多，不必再过度重复。这里既然讲自然数，就讲一讲中国古人怨念最深的那个数吧，大衍之数。周易系辞中有一句话，叫“大衍之数五十，其用四十有九”。这里的大衍之数，就是天地之数，是天地的极限。但是，原文中到此为止，并没有提及这个大衍之数50是怎么确定的。于是，历朝历代的象数大家们，便殚精竭虑，穷尽各种可能的加减乘除组合，要将这个大衍数给出更加本原的解释。

以朱熹为例，他牵强附会的能力无敌到极限。他给出的解释是，一个边长为7的正方形，中间内切一个直径为7的圆形，正方形变长为28，圆形周长为22（取九章算术给出的圆周率密率22/7），于是两者相加就是50。另一方面，由于正方形的面积恰是7*7=49，即大衍之数的用数，于是朱熹认为，他完美地解释了大衍之数的来源。

在大衍之数的众多解释中，朱熹的解释确实有许多出彩的地方，毕竟他将圆和方这两个最重要的东西结合在了一起。圆和方对于中国古代的重要性，主要体现在工匠制作上。木工制作中，无非是割圆取方、或破方取圆。比如，一根圆木要切成正方形，就涉及方形外接圆的问题。由于方圆的重要性，制作方圆的规矩也成为了最重要的工具，方圆也被赋予了天地的含义。所以朱熹用方圆的周长来解释大衍之数，的确相当有创造性。

不过，我个人还是倾向于认为大衍之数就是来源于勾股术。很简单，勾三股四弦五，三者平方相加，正是50。勾股是中国古代数学的基础，三四五又是自然数中最基本的勾股数，以其作为大衍之数，是最直观且容易想到的。同样，这只是一家之言，姑妄听之吧。

中国人对于数目字的天赋，蕴含在我们的文字基因中。我们从小就背九九乘法表，可你见过外国人背这个的吗？eight eight sixty four，是不是听着就觉得别扭。中国古代没有出现像阿拉伯数字那样简易的计数法，原因是我们总是把数字推到极其简单的少数几个数字上，而大多数的运算则都放在了计算工具中。我们对于自然数执着地问询了数千年、玩耍了数千年、附会了数千年、追求了数千年，以至于每一个自然数都有了它不一样的文化含义。今天，我们已经进入了真正的数字化时代，我们这个民族、这个当之无愧的数字化的民族，没理由不在这个时代重新崛起。