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一片薄薄的三棱台（2022新高考Ⅱ，7）

2023-04-17 13:09 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2022新高考Ⅱ，7）已知正三棱台的高为 $1$ ，上、下底面边长分别为 $3%5Csqrt%7B3%7D$ 、 $4%5Csqrt%7B3%7D$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A. $100%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

B. $128%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

C. $144%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

D. $192%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

解：设该棱台为 $ABC-A_1B_1C_1$ ，

其上、下底面的中心分别为 $G_1$ 、 $G$ ，

由正弦定理可知

$2%5Cleft%7C%20A_1G_1%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B%5Csin%20%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%7D%3D6$ ，

$2%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B%5Csin%20%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%7D%3D8$ ，

解得 $%5Cleft%7C%20A_1G_1%20%5Cright%7C%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B3%7D$ ， $%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B4%7D$ .

若 $G$ 、 $G_1$ 位于球心 $O$ 异侧，则

$%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D%2B%5Csqrt%7BR%5E2-16%7D%3D1$ ，

令 $f%5Cleft(%20R%20%5Cright)%20%3D%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D%2B%5Csqrt%7BR%5E2-16%7D$ ，

其中 $R%5Cin%20%5Cleft%5B%204%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20$ ，

易知 $f%5Cleft(%20R%20%5Cright)%20%5Cnearrow%20$ ，

故 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20R%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20f%5Cleft(%204%20%5Cright)%20%3D%5Csqrt%7B7%7D%3E1%7D$ ，

故 $%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D%2B%5Csqrt%7BR%5E2-16%7D%3D1$ 无解.

若 $G$ 、 $G_1$ 位于球心 $O$ 同侧，则

$%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D-%5Csqrt%7BR%5E2-16%7D%3D1$ ，

解得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7BR%3D5%7D$ ，

故球 $O$ 的表面积为 $S%3D4%5Cpi%5Ctimes%205%5E2%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B100%5Cpi%7D$ .

选A.

解方程的小技巧：

记 $%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D-%5Csqrt%7BR%5E2-16%7D%3D1$ 为 $%5Coplus%20$ ，

分子有理化，可得

$%5Cfrac%7B7%7D%7B%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D%2B%5Csqrt%7BR%5E2-16%7D%7D%3D1$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D%2B%5Csqrt%7BR%5E2-16%7D%3D7%7D$ …… $%5Cotimes%20$

$%5Coplus%20$ $%2B$ $%5Cotimes%20$ 可得 $2%5Csqrt%7BR%5E2-9%7D%3D8$ ，

解得 $R%3D5$ .

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