悬链线

一条均匀，柔软的绳索，受重力而自然下垂，问其形成的是是什么类型的曲线？

看上去真的像是一条抛物线，是不是？

但事实上，我们的直觉欺骗了我们，这并不是一条抛物线，只是很像而已，接下来，我们就用严格的数学去推导这是一条什么样的曲线。

1.列方程

显然这条曲线会有一个最低点，我们把这个点记作A点，再任取曲线上任意一点B，对AB这段弧进行受力分析。

A处的拉力是沿水平方向的，B处的拉力沿B点处曲线的切线方向，二者受到的拉力在水平方向上互相抵消，B点拉力的竖直分量则与重力抵消。

设绳索的线密度为k，重力加速度为g，那么AB段绳索受到的重力就是AB段的绳长乘上线密度再乘上重力加速度。以A为原点建立坐标系，设绳索形成的曲线函数解析式为y=f（x），B点坐标为（x0，f（x0）），那么根据曲线弧长公式：，AB段绳索受到的重力就是，等于B点处拉力在竖直方向上的分量，根据三角函数关系，有，其中为B点处拉力与水平方向所成的夹角。又因为，所以，那么因为对于一条固定的绳索，Ta为定值，k，g也为定值，所以带入并简化，得：（C=Ta/kg），因为这个B点是任取的，所以x0可以任意变化，把这个方程一般化，就可以得到，这里的积分实际上是一个变上限积分，等于，（F（x）表示f（x）的一个确定的原函数）

2.降阶为一阶微分方程

对方程两边分别求导，左边求导的结果就是，右边求导的结果为，那么记y对x的导数等于p，则，就有，两端积分，得：，令p=tanr（r角在一四象限），那么右侧积分可以改写为，又因为原积分等于（详细推导请看上一篇专栏——如何把点光源射出的光变成平行光？），那么我们就得到（D为常数）。所以，所以，就得到p=，等于。

3.积出结果

p是y的导函数，则有，两端积分，得，再令等于s，则原积分改写为，（E为常数），则（通解）

最后我们发现，这实际上是由一个双曲余弦函数变化而得的。

最后求一下特解，最低点在原点处，所以D等于0，E=-C，所以特解为。