立方倍积作图

      立方倍积问题是说作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。这个问题我想了很久，发现无法在有理数域内通过作图求解，于是我就转向无理数域去寻找解决的办法，经过一番思考，我发现当两个立方体的边长都是无理数时，就可以通过作图法求出一个立方体，使它满足立方倍积的条件。这两个立方体的边长分别是根号2和圆周率的二次方根，下面我说一下我的想法和具体操作，为了方便大家阅读，我先给出下面这张图。

     先作出根号2。图中，△AOB为直角三角形，AC＝1，BC＝1，斜边AB＝根号2。图中所有的长度都用统一标准，即用直尺和圆规画任意长度为单位长度，以后画任何线段都要用圆规在单位长度上取值，并通过平行移动等尺规作图法来作图。

       声明一下，图中所有画法皆为尺规作图，而不是靠尺子去量的。其次，所有的图均为示意图，我只是想表达立方倍积是如何通过尺规作图实现的。作图前自己任意规定单位长度，其它长度必须是单位长度的倍数，作图时用圆规去截取长度。图中对任意线段的等分只有可以通过用尺规作图法完成的二等分一种方法，八等分是指不断重复的对指定线段二等分，直至将它八等分，余类推。

       直角三角形中斜边的长度是由直角边的比例唯一确定的。

      用同样的方法，作出根号10。根号10也是一个直角三角形的斜边。

     作出圆周率pi。关于圆周率pi的作法我曾经专门写过一篇文章发表在头条上，文章的名称叫《一起来画圆为方》，有兴趣的朋友可以去看看。

      通过作图法给出的Pi值是3.135。

这里我就不再给出pi值的作图法了，我要说一下怎么通过作图法求出圆周率pi的二次方根。请看下图。

       图中线段NP的长度＝Pi，这和我在《一起来画圆为方》中求出的Pi是相等的。将线段NP八等分得到线段NA，NA的长度＝（Pi÷8），将NA反向延长至A撇点，取NA撇的长度＝NA。作A撇P的垂直平分线，交A撇P于B点。PB的长度＝A撇P的二分之一，又等于（NP＋NP÷8）÷2，PB＝1.763438。                                    

       线段PB在数值上等于Pi的二次方根，图中给出了Pi的理论值的二次方根，用作比较。

       以线段PB的长度作为立方体A的边长，作一个立方体A，同时以△AOB的斜边AB的长度作为立方体B的边长，作一个立方体B。立方体A就是我们要求的立方体，它的体积等于立方体B的两倍。如下图。

       立方体A的体积＝ 5.483782。

       立方体B的体积＝ 2.828427。

      立方体A与立方体B的体积比为1.9388。约等于2。

      体积比的绝对误差0.0612。 相对误差（0.0612÷2）＝ 3.06％。